- •1. Приведите классическое определение вероятности и укажите, при соблюдении каких условий оно применимо
- •Е сли появление события в непременно влечет за собой появление события а, то как в этом случае соподчинены противоположные им события а и в?
- •Приведите пример какого-либо опыта с конечным числом элементарных исходов, в условиях которого нельзя исчислять вероятности событий по формуле классического определения вероятности.
- •9. Приведите известные вам формулы комбинаторики, которые используются при непосредственном исчислении вероятности по ее классическому определению.
- •10. Приведите определение условной вероятности.
- •11. Зависимость и независимость двух событий (определение).
- •20. Сформулируйте условия, при выполнении которых применяется теорема Байеса. Приведите формулировку и краткое доказательство этой теоремы.
- •21. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
- •22. Функция плотности распределения вероятности и ее свойства.
- •23. Ряд распределений дискретной случайной величины и его свойство.
- •24. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
- •25. Дисперсия дискретной св и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение св.
- •26. Математическое ожидание непрерывной cb и его свойства
- •27. Дисперсия непрерывной cв и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение св.
- •28. Начальные и центральные моменты св. Выражение матожидания и дисперсии через моменты.
- •На основе закона распределения альтернативно распределенной cв получить выражение для мат.Ожид-я биноминально распр. Св.
- •На основе закона распределения альтернативно распределенной cв получить выражение для дисперсии биноминально распределенной св.
- •Случайная величина принимает целые значения в промежутке от 0 до n с равной вероятностью. Вывести выражение для матожидания этой св.
- •42. Предельным законом для какого распределения является распределение Пуассона. Какие значения может принимать св, распределенная по закону Пуассона.
- •43. Плотность распределения и функция распределения равномерной св, ее числовые характеристики.
- •44. Плотность распределения и функция распределения показательной св, ее числовые характеристики.
- •45. Плотность распределения и функция распределения нормальной cb (распределение Гаусса), ее числовые характеристики.
- •46. Функция Лапласа. Ее свойства.
- •47. Вероятность попадания нормально распределенной cв на отрезок, правило «трех сигм».
- •49. Числовые характеристики св, распределенных по равномерному, показательному и нормальному законам (значения матожидания и дисперсии)
- •50. Дайте определение совместной функции распределения двумерной св и укажите ее свойства. Обоснуйте эти свойства и приведите примеры их выполнения
- •Сформулируйте определение и напишите формулу для вычисления корреляционного момента (коэффициента ковариации) двух св. Докажите, что для независимых cв его значение равно нулю.
- •Доказать локальную предельную теорему Муавра-Лапласа.
- •Доказать интегральную теорему Муавра-Лапласа.
- •Доказать неравенство Чебышева.
- •59.Доказать теорему Чебышева.
- •60. Понятие генеральной совокупности, выборки из нее. Представление выборки в виде вариационного ряда. Определение вариационного ряда.
- •Эмпирическая функция распределения, ее свойства, способ построения по выборке.
- •Понятие оценок числовой характеристики или параметра св. Свойства оценок.
- •63. Нахождение несмещенной оценки генеральной средней (матожидания) св
- •Нахождение несмещенной и смещенной оценок генеральной дисперсии св.
- •Понятие гистограммы частот, способ построения, пример.
- •Понятие точечных и интервальных оценок. Определения. Примеры.
- •68. Свойства точечных оценок параметров, несмещенность, состоятельность, эффективность (определения).
- •Определение и свойства оценок: выборочного среднего, выборочной дисперсии и неправленой выборочной дисперсии.
- •Выборочный коэффициент ковариации (формула).
- •Доказать, что выборочное среднее является состоятельной и несмещенной оценкой матожидания.
- •Доказать, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии.
- •Какими понятиями определяется интервальная оценка параметра? Какая существует между ними связь в виде формулы?
- •76. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью γ) матожидания нормально распределенной cв при известной дисперсии (вывод).
- •Построение интервальной оценки (доверительного интервала) ( с надежностью γ) матожидания нормально распределенной cв при неизвестной дисперсии (вывод).
- •Интервальная оценка дисперсии cв по выборке при известном и неизвестном матожидании (формулы).
- •Вывести оценку требуемого объема выборки для построения доверительного интервала заданной длины для матожидания в случае нормального распределения.
- •Назначение и суть метода моментов и метода максимального правдоподобия.
- •Сформулируйте основной принцип статистической проверки гипотез.
- •Что такое ошибка 1-го рода.
- •83. Что такое ошибка 2-го рода.
- •84. Что такое критическая область.
- •90. Модель парной линейной регрессии, уравнение и основные вероятностные допущения
- •92. Виды нелинейных зависимостей, сводящихся к линейной регрессионной модели и соответствующие им предварительные преобразования исходных данных
Понятие оценок числовой характеристики или параметра св. Свойства оценок.
Оценкой числовой характеристики или параметра Ө CВ называется функция от выборочных значений Õ(х1, …, хn), которая в определенном смысле «близка» к истинному значению Ө.
Свойства:
Состоятельность. Оценка Õ называется состоятельной, если она сходится по вероятности к иснтинному значению (индекс n обычно опускается, но подразумевается по умолчанию): Õn → Ө
Свойство состоятельности является обязательным для оценки, несостоятельные оценки не используются.
Несмещенность. Оценка Õ называется несмещенной, если ее матожидание равно истинному значению: МÕ= Ө
Это свойство желательно, но необязательно.
Эффективность. Оценка Õ называется эффективной в определенном классе оценок Õ, если она самая точная среди оценок этого класса, т.е. имеет минимальную дисперсию:
DӨ*=min DÕ
63. Нахождение несмещенной оценки генеральной средней (матожидания) св
Оценкой генеральной средней является выборочная средняя.
k
неξв=(∑ξini)/n
i=1
Нахождение несмещенной и смещенной оценок генеральной дисперсии св.
Dг(ξ)=√(Dв(ξ))
Dв(ξ)=(неξ2)в – (неξв)2 смещенная оценка генеральной дисперсии
Для того, чтобы получить несмещенную оценку генеральной дисперсии, вводят новую оценку, исправленную выборочную дисперсию
Sв2=n/(n-1) Dв несмещенная оценка генеральной дисперсии
Понятие гистограммы частот, способ построения, пример.
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, одна из сторон которых – частичные интервалы длиною h, другая – отношение ni/h (плотность частоты). Для построения гистограммы частот по оси абсцисс откладывают частичные интервалы, по оси ординат – плотности частот. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки. Площадь гистограммы относительных частот равна 1.
Понятие точечных и интервальных оценок. Определения. Примеры.
Имеется два подхода к оцениванию неизвестных параметров распределений по наблюдениям: точечный и интервальный. точечный указывает лишь точку, около которой находится оцениваемый параметр; при интервальном находят интервал, который с некоторой. как правило, большой, вероятностью, задаваемой исследователем, накрывает неизвестное числовое значение параметра.
Пусть x1,x2,…,xn - выборка из распределения, зависящего от параметра θ € Θ. Тогда статистику Õ (X1,…,Xn) называют точечной оценкой параметра θ.
Пример: оценка уровня несоответствия показателя качества продукции, который следует ожидать при работе станка или технологического процесса при установленном допуске и неизвестном уровне настройки.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценивания.
Вычисленная на основе выборки оценка θ является лишь приближением к неизвестному значению параметра θ даже в том случае, когда эта оценка состоятельная, несмещенная и эффективная. Возникает вопрос: нельзя ли указать такое Δ, для которого с заранее заданной близкой к единице вероятностью 1- α гарантировалось бы выполнение неравенства: | Õ - θ | < Δ, или иначе, для которого
Р(Õ- Δ< θ< Õ+ Δ) = 1-α
Если такое Δ существует, то интервал (Õ- Δ< θ< Õ+ Δ) называют интервальной оценкой параметра θ, или доверительным интервалом; Õ- Δ, Õ+ Δ – нижней и верхней доверительными границами; Δ – ошибкой оценки Õ, 1 – α – надежностью интервальной оценки, или доверительной вероятностью.