1. Приведите классическое определение вероятности и укажите, при соблюдении каких условий оно применимо

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

Р (A) = m / n,

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

2. Исходя из трех аксиом теории вероятностей, докажите, что вероятность любого события А подчиняется неравенству Р(А) ≤ 1

Аксиомы вероятностей:

1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число р(А), называемое вероятностью события А.

2. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Если события А₁, А₂, … попарно несовместны, то р(А₁ + А₂ + …) = р(А₁) + р(А₂) + … (аксиома счетной аддитивности)

3. Вероятность достоверного события равна единице: p(U) = 1.

Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 < Р (А) < 1

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

0 <= Р (A) < 1.

3. Дайте определение события не А, противоположного событию А. Докажите, исходя из трех аксиом теории вероятностей, что Р(неА)=1-Р(А)

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать неА.

Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице => Р(А) + Р(неА) = 1 =>

Р(неА)=1-Р(А)

4. Если из появления события В непременно следует появления события А, то что представляет собой события А+В и АВ

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и B — несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А — деталь годная, В — деталь окрашенная, то АВ — деталь годна и окрашена.

5. Е сли появление события в непременно влечет за собой появление события а, то как в этом случае соподчинены противоположные им события а и в?

если не А, то не В. если В непременно влечет за собой А, то не А влечет за собой не В. неА*неВ=неВ, неА+неВ=неА

6. В условиях, при которых верна классическая формула вероятности (т.е. для опыта с конечным числом равновозможных элементарных исходов), докажите, что вероятность сумы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 — число исходов, благоприятствующих событию A; m2— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1 + m2. Следовательно,

Р (A + В) = (m1 + m2) / n = m1 / n + m2 / n.

Приняв во внимание, что m1 / n = Р (А) и m2 / n = Р (В), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

7. Приведите формулу вероятности суммы двух совместных событий А и В. Пользуясь классическим определением вероятности, докажите эту формулу для опыта с конечным числом равновозможных элементарных исходов.

Р (А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В)

A~m

B~e

A *B~r

P(A+B)=(m+e-r)/n= m/n +e/n -r/n= P(a)+P(b) - P(a*b)