71. Выборочный коэффициент ковариации (формула).

Коэффициент ковариации случайных величин zi , zj , обозначаемый иногда как cov(zi,zji), есть математическое ожидание произведения отклонений каждой из этих величин от своего математического ожидания:

bij = cov(zi, zj) = M[(zi - Mzi)(zj - Mzj)]

Преобразовав, получим более удобную формулу для вычисления коэффициента ковариации

bij = cov(zi, zj) = M(zi × zj) - Mzi × Mzj

72. Доказать, что выборочное среднее является состоятельной и несмещенной оценкой матожидания.

Для случайной выборки оценка матожидания примет вид:

_n

ά=1/n∑Xi=неХ

ⁱ⁼¹

Согласно следствию из закона больших чисел среднее арифметическое независимых одинаково распределенных СВ, имеющих дисперсию σ2, сходится по вероятности к матожиданию неХ=а, а это и значит, что ά=неХ состоятельна.

Несмещенность устанавливаем прямой проверкой:

_{n n n}

М ά = М(1/n∑Xi) = 1/n∑MXi = 1/n∑a = a

^{i=1 i=1 i=1}

73. Доказать, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии.

s ² = (1 / n) ·( x _i -`x )<sup>2</sup>.      Выборочная дисперсия, вычисленная по данной формуле, дает несколько заниженную (смещенную) оценку генеральной дисперсии. Это связано с тем, что величина `x, относительно которой берутся отклонения, сама зависит от элементов выборки.      Каждая величина, зависящая от элементов выборки и входящая в формулу дисперсии, называется связью. Имеется строгое доказательство того, что знаменатель выборочной дисперсии всегда должен быть равен разности между объёмом выборки - n  и числом связей - k, наложенных на эту выборку. Эта разность фактически показывает, какое количество элементов выборки можно произвольно изменять, не нарушая связей. Поэтому она называется числом степеней свободы выборки. Число степеней свободы, обычно обозначаемых как f  или n, участвует не только в формуле выборочной дисперсии, но и в формулах всех случайных величин, так или иначе связанных с этой дисперсией. В частности, чтобы получить несмещенную оценку генеральной дисперсии, следует использовать общую формулу, где в знаменателе вместо n  используется число степеней свободы f = n  - k:  s ² = (1/ f ) ·(x _i -`x )<sup>2</sup>. Тогда, в частности, для негруппированных данных (в формуле используется только одна средняя, k =1), несмещенная оценка дисперсии: s <sup>2</sup> = (1 / (n -1)) ·( x <sub>i</sub> -`x )².

75. Какими понятиями определяется интервальная оценка параметра? Какая существует между ними связь в виде формулы?

Вычисленная на основе выборки оценка θ является лишь приближением к неизвестному значению параметра θ даже в том случае, когда эта оценка состоятельная, несмещенная и эффективная. Возникает вопрос: нельзя ли указать такое Δ, для которого с заранее заданной близкой к единице вероятностью 1- α гарантировалось бы выполнение неравенства: | Õ - θ | < Δ, или иначе, для которого

Р(Õ- Δ< θ< Õ+ Δ) = 1-α

Если такое Δ существует, то интервал (Õ- Δ< θ< Õ+ Δ) называют интервальной оценкой параметра θ, или доверительным интервалом; Õ- Δ, Õ+ Δ – нижней и верхней доверительными границами; Δ – ошибкой оценки Õ, 1 – α – надежностью интервальной оценки, или доверительной вероятностью.