49. Числовые характеристики св, распределенных по равномерному, показательному и нормальному законам (значения матожидания и дисперсии)

Равномерный закон распределения:

Матожидание MX=(b+a)/2

Дисперсия DX=(b-a)²/12

Показательный закон распределения:

Матожидание MX=1/λ

Дисперсия DX= 1/λ²

Нормальный закон распределения:

Матожидание MX=a

Дисперсия DX=σ²

50. Дайте определение совместной функции распределения двумерной св и укажите ее свойства. Обоснуйте эти свойства и приведите примеры их выполнения

Функция двух переменных F(x,y)= P[(ξ₁<x),( ξ₂<y)] определенная для любых x и y, называется функцией распределения системы двух случайных величин (ξ_1, ξ₂).

Свойства:

1) F(x;y) € [0;1]

2) Если х₂>x₁, то F(x₂;y)≥F(x₁;y)

Если y₂>y₁, то F(x;y₂)≥А(x,y₁)

3) F(-∞,-∞)=0

F(+∞,+∞)=1

F(-∞;y)=0

F(x; -∞)=0

4) F(∞;y) = P(ξ<∞;η<y) = P(η<y)=F_η(y)

F(x; ∞) = P(ξ<x; η<∞) = P(ξ<x)= F_ξ(x)

51. Ряд распределения двумерной дискретной СВ

у\х	x1	x2	xm
y1	P(y1,x1)	P(y1,x2)	P(y1,xn)
y2	P(y2,x1)	P(y2,x2)	P(y2,xn)
yn	P(yn,x1)	P(yn,x2)	P(yn,xn)

x, y – составляющие (компоненты) двумерной СВ, P(y_i, x_i)=P_ij;  P_ij=1

Ряды компонент.

P(x=x1)=P((x=x1)(y=y1))+ P((x=x1)(y=y2))+... +P((x=x1)(y=yn))

P(x=xj)= Pji

52. Что такое совместная плотность распределения непрерывной двумерной СВ? Укажите ее свойства. Как построить по плотности совместного распределения плотности распределения и функции распределения компонент этой непрерывной двумерной СВ?

Пусть (ξ, η) – непрерывная двумерная СВ. Плотностью распределения вероятности называется f(x,y) = (∂²F(x,y)/(∂x∂y)

Свойства:

1) f(x,y) ≥ 0

2) F(x,y)= _-∞^x∫ _-∞^y∫f(u,v) du,dv

Fξ(x)=F(x; ∞) = _-∞^x∫ _-∞^x∫ f(u,v) du,dv

F η(y) = F (∞;y)= _-∞^∞∫ _-∞^y∫f(u,v) du,dv

3) _-∞^∞∫ _-∞^∞∫f(x,y) dxdy=1

Плотность совместного распределения можно рассматривать как предел отношения вер-ти попадания случ точки в прямоугольник со сторонами ∆х и ∆у к площади этого прямоугольника, когда обе стороны стрем-ся к 0; геометрически – это поверхность, кот назыв поверхность распределения.

53. Сформулируйте определение и напишите формулу для вычисления корреляционного момента (коэффициента ковариации) двух св. Докажите, что для независимых cв его значение равно нулю.

Корреляционным моментом СВ X и Y называется мат. ожидание произведения отклонений этих СВ. Kxy =М((X —М(X))*(Y —М(Y)))

Для вычисления корреляционного момента может быть использована формула:

Kxy =М(X *Y )—М(X)*М(Y)

Доказательство:

По определению Kxy =М((X —М(X))*(Y —М(Y))) Предполагая, что X и Y независимые СВ, тогда Kxy =М(X Y)—М(X )*М(Y)=М(X)*М(Y)—М(X)*М(Y)=0; Kxy =0.

54. Сформулируйте определение коэффициента корреляции двух СВ. Докажите, что его значение не может превышать единицы по абсолютной величине. Докажите, что его значение равно единице по абсолютной величине, если СВ связаны линейной зависимостью.

Коэффициентом корреляции rxy СВ Х и У называют отношение корреляц мом-та к произведению средних квадратич отклонений этих в-н. rxy = kxy\ σхσу. Величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения СВ. Коэффициент корреляции независимых СВ = 0.

Абсолютная величина коэф коррел-ции не превышает 1: | rxy| <=1. Док-во: Введём СВ z1= σх X- σуY и найдём её дисперсию D(z1) = M(z1 – mz1)^2, получим: D(z1) = 2 σх ^2σу ^2- 2σхσу kxy. Любая дисперсия неотрицательна, поэтому 2 σх ^2σу ^2- 2σхσу kxy >=0. Отсюда kxy <= σхσу. Веля СВ z2= σх Y- σуX , аналогично найдём kxy >= - σхσу. Получается - σхσу <= kxy <= σхσу. Разделим обе части нер-ва на произведение положительных чисел σхσу: -1 <= kxy<= 1.