76. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью γ) матожидания нормально распределенной cв при известной дисперсии (вывод).

X~ N (a, σ), причем значение параметра а не известно, а значение дисперсии σ² известно.

При X~N(a, σ), эффективной оценкой параметра а является неХ, при этом неХ~N (a, σ/√n)/ Статистика Z = (неХ – а)/ (σ/√n) имеет распределение N (0,1), не зависящее от параметра а, и как функция параметра а непрерывна и строго монотонна. Следовательно, с учетом неравенства ψ_a<ψ(θ^{^},θ)<ψ_a и симметричности двусторонних критических границ распределения N (0;1) будем иметь: Р(-u_a<Z<u_a)=1-α

Решая неравенство -u_a< (неХ – а)/ (σ/√n) <u_a относительно а получим, что с вероятностью 1 – α выполняется неравенство

неХ -u_a σ/√n<a<неХ+ u_a σ/√n,

при этом Δ = u_a σ/√n, число u_a находят по таблице из условия Ф(u_a)=(1-α)/2

77. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) ( с надежностью γ) матожидания нормально распределенной cв при неизвестной дисперсии (вывод).

Итак, X~N (a, σ), причем числовые значения ни α, ни σ² не известны. По случайной выборке найдем эффективную оценку параметра а: неХ и оценку

_n

s²=1/(n-1)Σ(Xi-неХ)² параметра σ²

ⁱ⁼¹

Построение интервальной оценки для а основано на статистике t(n-1)=(неХ-а)/(s/√n), которая при случайной выборке из генеральной совокупности Х~N (a, σ) имеет распределение Стьюдента с (n-1) степенью свободы, не зависящее от а, и как функция параметра а непрерывна и строго монотонна.

С учетом неравенства и симметричности двусторонних критических границ распределения Стьюдента будем иметь:

Р(-t _α<t(n-1)<t _α)=1- α

Решая неравенство -t _α<(неХ-а)/(s/√n)<t _α относительно а получим, что с вероятностью 1-α выполняется неравенство

неХ-t _α s/√n<a<неХ+t _αs/√n

и ошибка оценки неХ при неизвестном значении параметра σ²

Δ= t _α s/√n, где число t _α находят по таблице при k=n-1 и р= α

78. Интервальная оценка дисперсии cв по выборке при известном и неизвестном матожидании (формулы).

При известном матожидании:

1)χ²(n) = ns_o²/σ²

P (χ_α²< χ²(n)< χ_α²)=1-α

2)s_omax(0;1-δ_α)<σ<s_o(1+δ_α)

P(s_o²max²(0;1-δ_α)<σ²<s_o²(1+ δ_α)²)=1-α

При неизвестном матожидании:

_n

s²=1/(n-1)Σ(Xi-неХ)²

ⁱ⁼¹

χ²(n-1)=(n-1)s²/ σ²

1. P (((n-1)s²)/ χ_α²)< σ²((n-1)s²)/ χ_α²)=

=1-α

P (√((n-1)s²/ χ_α²)< σ<((n-1)s²)/ χ_α²

2. P(s_o²max²(0;1-δ_α)<σ²<s²(1+ δ_α)²)= =1-α

P(s max²(0;1-δ_α)<σ<s(1+ δ_α)²)=1-α

79. Вывести оценку требуемого объема выборки для построения доверительного интервала заданной длины для матожидания в случае нормального распределения.

нех ± arg Ф(у/2)

Пусть Z=argФ(у/2 то e=Z (σ)/(√n), где e – ошибка выборочного исследования.

n=(z²σ²)/e²

Таким образом, для определения объема выборки необходимо знать три параметра.

1. Требуемый доверительный уровень, который влияет на величину Z, являющуюся критическим значением стандартизованного нормального распределения.

2. Приемлемую ошибку выборочного исследования e.

3. Стандартное отклонение