40. Антагонистические игры, седловая точка

Игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма выиграшей всех игроков равна нулю (т.е. каждый игрок выигрывает только за счет других). Самый простой случай — парная игра с нулевой суммой — называется антагонистической.

Игра, представленная таким образом, называется матричной, а полученная таблица — платежной матрицей.

Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию А_i; тогда в наихудшем случае (например, если выбор станет известным игроку В) он получит выигрыш, равный . Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш  :

 .

Величина  — гарантированный выигрыш игрока А — называется нижней ценой игры. Стратегия А_i, обеспечивающая получение , называется максиминной.

Игрок В, выбирая стратегию, исходит из следующего принципа: при выборе некоторой стратегии В_j его проигрыш не превосходит максимального из значений элементов j-го столбца матрицы, т. е. меньше или равен . Рассматривая множество для различных значений j, игрок В, естественно, выберет такое значение j, при котором его максимальный проигрыш  минимизируется:

 .

Величина  называется верхней ценой игры, а соответствующая выигрышу  стратегия В_j — минимаксной. Нижняя цена игры всегда не превосходит верхней цены игры. Если ==v, то число v называется ценой игры.

Фактический выигрыш игрока А при разумных действиях партнеров ограничен нижней и верхней ценой игры. Игра, для которой =, называется игрой с седловой точкой.

41. Чистые и смешанные стратегии матричных игр с нулевой суммой, платежная функция

Чистой стратегией называется возможный ход игрока, выбранный им с вероятностью, равной 1. Это так называемые «игры с полной информацией». Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает предысторию ее развития, Примерами игр: шашки, шахматы, «крестики и нолики».

Если игра не имеет седловой точки, то для ее решения используются смешанные стратегии. Смешанной стратегией называется вектор, каждая из компонент которого показывает относительную частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии. Обычно смешанную стратегию первого игрока обозначают как вектор U=(u₁, u₂, ...u_m), а второго — как вектор Z=(z₁, z₂,...z_n), где u_i0 (i=1...m), z_j0 (j=1...n), =1, =1. Применение смешанных стратегий мыслится таким образом: игра повторяется много раз; перед каждой партией игры, когда игроку предоставляется личный ход, он «передоверяет» свой выбор случайности. Смешанные стратегии в теории игр представляют собой модель изменчивой, гибкой тактики, когда ни один из игроков не знает, как поведет себя противник в данной партии. Такая тактика часто применяется в карточных играх . Игра, для которой =, называется игрой с седловой точкой.

42. Теорема о необходимом и достаточном условии существования решения антагонистической игры

Игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма выиграшей всех игроков равна нулю (т.е. каждый игрок выигрывает только за счет других). Самый простой случай — парная игра с нулевой суммой — называется антагонистической.

Игра, представленная таким образом, называется матричной, а полученная таблица — платежной матрицей.

основная теорема теории игр: каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий.