2. Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных , и не содержит подграфов, гомеоморфных . Необходимость

Билет 10

1. Определение 1.1. Бинарное отношение a на множестве X называется отношением поряд ка, если оно транзитивно:

и антисимметрично:

2. Частично упорядоченное множество бинарное отношения на множестве с заданными свойствами(Рефлексивно антисимметричность транзитивность.

3. Линейно упорядоченное множество или цепь ― частично упорядоченное множество, в котором два любые элемента сравниваемы.

1. Теорема о пяти красках Каждый планарный граф можно так раскрасить, используя пять цветов, что любые две смежные вершины будут окрашены в разные цвета.

2. Гипотеза четырех красок — каждый планарный граф 4-раскрашиваем.

3.Правильная раскраска графа – это раскраска каждой его вершины в

один из К цветов таким образом, чтобы смежные вершины были раскрашены

в разные цвета

Билет 11

1.Пусть М и М*- два частично упорядоченных множества и пусть f есть отображения М в М*.

МЫ скажем что это отображение сохраняет порядок если из а<b и a,b принадлежит М следует что f(a) < f(b). Отображение F называется изоморфизмом частично упорядоченного множества М и М* ,если он биективен , и соотношение f(a)< f(b) выполняется только в том случае если а<b. Сами множества М и М* называются изоморфными между собой.

1. Плоский граф — геометрический граф, в котором никакие два ребра не имеют общих точек, кроме инцидентной им обоим вершины (не пересекаются)

2. Планарный граф — граф, который может быть изображён на плоскости без пересечения рёбер

3. Теорема Эйлера : Для связного плоского графа справедливо следующее соотношение между количеством вершин | V(G) | , ребер | E(G) | и граней | F(G) | (включая внешнюю грань):

 Если каждая грань ограничена не менее чем тремя ребрами (при условии, что в графе больше двух ребер), а каждое ребро разделяет две грани, то

следовательно,

то есть, при большем числе ребер такой граф заведомо непланарен.

Билет 12

1. Элемент   называется минимальным , если не существует элемента b < a. Другими словами, a — минимальный элемент, если для любого элемента  либо b > a, либо b = a, либо b и a несравнимы.

2. Условие минимальности. Каждое подмножество частично упорядоченного множества обладает хотя бы одним минимальным элементом.

3. Условие обрыва убывающих цепей. Всякая строго убывающая цепь частично упорядоченного множества обрывается.

Условия индуктивности. все элементы из Р обладают нек-рым свойством s, если этим свойством обладают все минимальные элементы множества Р и если справедливость свойства е для любого можно вывести из того, что е справедливо для всех (условие индуктивности)

4. Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами это фундированное множество с линейным порядком.

1.  Точка сочленения графа   - вершина, при удалении которой в   увеличивается число компонент связности

2. Компонента связности графа — некоторое множество вершин графа такое, что для любых двух вершин из этого множества существует путь из одной в другую, и не существует пути из вершины этого множества в вершину не из этого множества.

3. Числом связанности называется наименьше количество вершин, удаление которых приводит к не связанности графа или одновершинному графу .

Билет 13 Определение. Диаметром связного графа называется максимально возможное расстояние между двумя его вершинами.

Определение. Центром графа называется такая вершина, что максимальное расстояние между ней и любой другой вершиной является наименьшим из всех возможных; это расстояние называется радиусом графа.

Билет 14

операции над кардинальными числами а + в= А объединение В(а , в кардинальные числа )

а *в= АхВ , а**в= А**В(множество всех отображении из В в А).