Билет 1

1. Способа задания множеств: Перечислением элементов: ,Заданием определенного свойства обьектов: , где P — определенное свойство обьекта а .

2. Подмножество данного множества Если каждый элемент который принадлежит множеству А, принадлежит в то же время множеству В, то множество А называется подмножество, т.е. А включается в В.

3.Характеристической функцией  случайной величины Х называется  функция эта функция представляет собой математическое ожидание некоторой комплексной случайной величины , являющейся функцией от случайной величины Х. 

4. Равенство множеств по определению, считают два множества равными, если они состоят из одних и тех же элементов:

5. Одно элементное множество .из х

6. Неупорядочные пары х и у.

7. Множество всех подмножеств данного множества А называется множеством – степени множества А и обозначается Р(А)={X такой что Х < А} , то есть если А ={1, 2 ,3 } то множества подмножеств Р(А) = {0(пустое множество),(1),(2),(3),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3)}

8. Операции над множествами

Пересечение:

Объединение:

Разность:

Симметрическая разность:

Декартово или прямое произведение:

1.Теорема ферма – если Р простое число , и целое а не делиться на то а**(р-1)=1 mod p (или а **(р-1)делиться на р)

2 Билет

1. Универсальное множество — это такое множество, которое состоит из всех элементов, а так же подмножеств множества объектов исследуемой области. Пустое множество - множество, которое не содержит ни одного элемента(пустое множество единственно).

2. Парадоксами теории множеств называют рассуждения, демонстрирующие противоречивость наивной теории множеств, такие как

Парадокс Расселя: Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.

Аксиомы zfc

1. Аксиома объёмности. Два множества a и b равны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же элементы.

2. Аксиома пустого множества. Существует множество e без единого элемента. Это множество обычно обозначается {} или .

3. Аксиома пары. Для любых множеств a и b существует множество c такое, что a и b являются его единственными элементами. Множество c обозначается {a,b} и называется неупорядоченной парой a и b. Если a = b, то c состоит из одного элемента.

4. Аксиома объединения. Для любого семейства a множеств существует множество , называемое объединением множества a, состоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества a.

5. Аксиома бесконечности. Аксиомы с 1 по 4 предоставляют ограниченные возможности для формирования новых множеств. Так, по теореме Кантора во множестве имеется элемент, не принадлежащий a, поэтому, например, не существует «множества всех множеств» (парадокс Рассела). Далее введём определение: множество называется индуктивным, если оно а) содержит пустое множество и б) содержит последователь (то есть элемент ) каждого своего элемента. Аксиома бесконечности утверждает, что индуктивные множества существуют.

6. Схема выделения. Любому множеству a и свойству отвечает множество b, элементами которого являются те и только те элементы a, которые обладают свойством . Схема выделения содержит счётное количество аксиом, так как каждая формула логики первого порядка порождает аксиому.

7. Аксиома множества подмножеств. Для любого множества a существует множество b, состоящее из тех и только тех элементов, которые являются подмножествами множества a. Множество подмножеств множества a обозначается .

8. Схема подстановки. Пусть - такая формула, что при любом x₀ из множества X существует, и притом единственный, объект y₀ такой, что выражение истинно. Тогда объекты c, для каждого из которых существует d из X такой, что истинно, образуют множество. Схема подстановки содержит счётное количество аксиом, так как каждая подходящая формула порождает аксиому.

9. Аксиома основания. Каждое непустое множество s содержит элемент a такой, что .

10. Аксиома выбора. Для каждого семейства A непустых непересекающихся множеств существует множество B, имеющее один и только один общий элемент с каждым их множеств X, принадлежащих A.

1.Бу́лева фу́нкция (или логи́ческая функция, или функция а́лгебры ло́гики) от n переменных — в дискретной математике отображение Bⁿ → B, где B = {0,1} — булево множество.

2. Нормальны формы(днф и кнф)

Днф – это представление дизъюнкций в виде простейших конъюнкций.

Кнф – представление конъюнкций в виде простейших дизъюнкций

Билет 3

. Аксиомы Пеано: Множество будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент (единица) и функция (функция следования) так, что выполнены следующие условия

1. (1 является натуральным числом);

2. Если , то (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);

3. (1 не следует ни за каким натуральным числом);

4. Если S(b) = a и S(c) = a, тогда b = c (если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b = c);

5. Аксиома индукции. Пусть P(n) — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа n. Тогда:

если P(1) и , то

1.Ориентированный граф (сокращённо орграф) G — это упорядоченная пара G: = (V,A), для которой выполнены следующие условия:

• V это непустое множество вершин

• A это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых ориентированными рёбрами(ребро со стрелкой показыаещее куда можно пройти)

.Неориентированный граф не содержит ориентированные ребра (нет стрелочек показывающих направления)

2.Подграфом графа называется граф, являющийся подмоделью исходного графа. Иначе говоря, подграф содержит некоторые вершины исходного графа и некоторые рёбра (только те, оба конца которых входят в подграф).

3. Суграф (частичный граф) исходного графа — граф, содержащий все вершины исходного графа и подмножество его рёбер.

4. Путём (или цепью) в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром

5. Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла) называют число составляющих его рёбер.

Билет4

1. Прямым произведением¹⁾, или декартовым произведением²⁾ множеств и называется множество всех упорядоченных пар таких, что и . При этом используют следующее обозначение:

2. Упорядоченная n-ка называетсяеще n-мерным упорядоченным набором, вектором, точкой, кортежем

3. бинарные отношение представляется множеством упорядоченных пар элементов

          Если    хRх   для любого х из поля отношения R то такое отношение называют рефлексивным

Если  хRу уRх, то такое отношение называется симметричным

   Если (xRy y R z)   xRz, то такое отношение называется транзитивным

Одновременное выполнение трех отношение есть отнашения эквиволентности

4. Пусть даны два множества Х и У и каждому элементу х О Х поставлен в соответствие единственный элемент у О У, который обозначен через f(х). В этом случае говорят, что на множестве Х задана функция f и пишут:f : Х ® У.

5. Отображение называется сюръективным (или сюръекцией, или отображением на Y), если каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X

Отображение называется инъекцией (или вложением, или отображением в Y), если разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y.

Биекция одновременное выполнение инъекции и сюръекции.

Билет5

1. Композицией (произведением, суперпозицией) бинарных отношений и называется такое отношение , что:

2. Инверсия(Обратное отношение) R — это множество и обозначается, как R ^{− 1}.

4. Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как

• Рефлексивность: .

• Антирефлексивность (иррефлексивность): .

• Симметричность: .

• Антисимметричность: .

• Транзитивность: .

• Асимметричность: . Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения.

1.Эйлеров путь (эйлерова цепь) в графе — это путь, проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу

2.Эйлеров цикл — это эйлеров путь, являющийся циклом.

3. Теорема Эйлера – для связанного плоского графа справедливо следующее соотношение между вершинамиV ребрамиE и гранями F

V-E+F=2

Билет 6

1. Отношение эквивалентности (∼) на множестве X — это бинарное отношение , для которого выполнены следующие условия:

1. Рефлексивность: для любого a в X,

2. Симметричность: если , то ,

3. Транзитивность: если и , то .

2.Совокупность всех классов эквивалентности называется фактор-множеством. Оно обозначается символом X/R.

3.Всякое отнашение эквивалентности на множестве определяет разбиении множества на классы эквивалентности.

Билет 7

.1.Для мощностей множеств можно ввести отношение частичного порядка, поэтому одно бесконечное множество может быть больше или меньше другого. Среди бесконечных множеств счётное множество является самым маленьким.

2.В теории множеств, счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество X является счётным, если существует биекция , где обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

3.Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

1. Гамильтонов путь (или гамильтонова цепь) — путь (цепь), содержащий каждую вершину графа ровно один раз. Гамильтонов путь, начальная и конечная вершины которого совпадают, называется гамильтоновым циклом.

2. Необходимое условие:Если неориентированный граф G содержит гамильтонов цикл, тогда в нём не существует ни одной вершины x(i) с локальной степенью p(x(i)) < 2.

Билет8

1. Множество всех подмножеств данного множества А называется множеством – степени множества А и обозначается Р(А)={X такой что Х < А} , то есть если А ={1, 2 ,3 } то множества подмножеств Р(А) = {0(пустое множество),(1),(2),(3),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3)}

2. В теории множеств теорема Кантора гласит, что

Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств.

булева решётка — частично упорядоченное множество специального вида; дистрибутивная решётка, имеющая наибольший элемент 1 — единицу булевой алгебры, наименьший элемент 0 — нуль булевой алгебры, и содержащая единственное дополнение каждого своего элемента x

Булевы кольца – ассоциативные кольца К, элементы которых идиопатны. Т.е х**2=х, х принадлежит К

Билет 9

1. Мощность множества, или кардинальное число множества, — это обобщение понятия количества (числа) элементов множества, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

2. Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности. Класс множеств, биективно эквивалентных данному, не является, однако, множеством

3.Теорема Кантора — Бернштейна (в англ. литературе теорема Кантора — Бернштейна — Шрёдера), утверждает, что если существуют инъективные отображения и между множествами A и B, то существует взаимооднозначное отображение . Другими словами, что мощности множеств A и B совпадают:

| A | = | B | .

Другими словами, теорема утверждает следующее:

Из и следует, что где — кардинальные числа

1. Гомеоморфизм, если граф переводятся а друга с помощью конечным подразбиения и слияния то эти графы гомеоморфные .