Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда , то если   ряд сходится, если l > 1 ряд расходится, если l = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство

1. Пусть l < 1. Очевидно, что существует такое  , что l + ε < 1. Поскольку существует предел  , то подставив в определение предела выбранное εполучим:

Раскрыв модуль, получаем:

(l − ε)ⁿ < a_n < (l + ε)ⁿ

Поскольку l + ε < 1, то ряд   сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд   тоже сходится.

2. Пусть l > 1. Очевидно, что существует такое  , что l − ε > 1. Поскольку существует предел  , то подставив в определение предела выбранное εполучим:

Раскрыв модуль, получаем:

(l − ε)ⁿ < a_n < (l + ε)ⁿ

Поскольку l − ε > 1, то ряд   расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд   тоже расходится.

Интегральный признак

Пусть   - ряд с положительными членами, для которого существует  положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке  функция f(x) такая, что  ,  , тогда ряд   и несобственный интеграл   сходятся или расходятся одновременно.

7

Если P<1 ряд расходится

p>1 ряд сходится

8

Т. (признак Лейбница): Если для ряда  

выполняются условия:  то этот ряд сходится, причем его сумма и

Рассмотрим частичную сумму члены которой сгруппируем по два:

В силу условия

1) разности в скобках положительны, поэтому последовательность возрастающая и

Перегруппируем члены

отсюда Возрастающая и ограниченная последовательность имеет предел

Для последовательности нечетных сумм в силу условия

2) имеем

Таким образом,  и ряд сходится

9

Сходящийся ряд   называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей  , иначе — сходящимся условно.

Аналогично, если несобственный интеграл   от функции сходится, то он называется сходящимся абсолютно или условно в зависимости от того, сходится или нет интеграл от ее модуля  .

В случае общего нормированного пространства модуль в определении заменяется на норму.

Признаки абсолютной сходимости

[править]Признак сравнения

Если   при  , то:

• если ряд   сходится, то ряд   сходится абсолютно

• если ряд   расходится, то ряд   расходится

Согласно критерию Коши,  . Значит,  , и по критерию Коши ряд   сходится. Второе утверждение следует из первого, так как если бы ряд   сходился, то и ряд   сходился бы.

[править]Признак сходимости рядов с монотонно убывающими членами

Пусть  . Тогда ряд   сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд 

Условная сходимость

[править]

У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость.

Ряд   называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. То есть, если  существует (и не бесконечен), но  .

10

Функциональный ряд, его сходимость. Рассмотрим ряд,    , членами которого являются функции, определенные на промежутке    . При каждом фиксированном    имеем числовой ряд, сходимость которого может быть исследована рассмотренными ранее методами. Сумма функционального ряда    также является функцией от х:    . По определению предела последовательности: если для    можно указать номер   ( что интересно, для каждого фиксированного    - свой номер, т.е.   ), такой, что для     выполняется неравенство   , то это и означает, что функциональный ряд сходится к функции . Множество  , для которого это выполняется, называется областью сходимости функционального ряда.

 

ПРИМЕР 1.  Нахождение области сходимости функционального ряда.

Равномерная сходимость функционального ряда. Пусть    , т.е. функциональный ряд сходится. Если для    можно указать номер   независимо от   , такой, что для  выполняется неравенство   , то говорят, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве .  

 

ПРИМЕР 2.  Изучение сходимости функционального ряда.

 

Исследование на равномерную сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: если существует сходящийся числовой ряд    с положительными членами, такой, что для всех   , начиная с некоторого номера и всех   выполняется неравенство  , то функциональный ряд   сходится на  равномерно. Числовой ряд    в этом случае называют мажорантой для функционального ряда.

 

11

Равномерная сходимость последовательности функций (отображений) — свойство последовательности  , где X — произвольное множество, Y = (Y,d) —метрическое пространство,   сходится к функции (отображению)  , означающее, что для любого   существует такой номер N_ε, что для всех номеров n > N_ε и всех точек   выполняется неравенство

Обычно обозначается  .

Это условие равносильно тому, что

12