- •Билет №1. Доказать теорему Ролля.
- •Определена и непрерывна на отрезке .
- •1) Пеано
- •1) Пеано
- •Доказать теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой.
- •Билет №5. Доказать второе достаточное условие экстремума.
- •Вывести уравнение наклонной асимптоты.
- •Билет №6. Доказать необходимое условие возрастания дифференцируемой функции.
- •Предел числовой последовательности. Сформулировать признак сходимости монотонной последовательности. Доказать теорему о единственности предела.
- •Билет №7. Доказать необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.
- •Вывести 1 замечательный предел:
- •Билет №8-1. Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.
- •Билет №8-2. Векторная функция скалярного аргумента: и её производная. Касательная к пространственной кривой. Теорема о производной вектор-функции постоянной длины.
- •Билет №9-1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранджа.
- •Дифференциал функции – определение, геометрический смысл. Доказать инвариантность формы дифференциала первого порядка.
- •Билет №11. Доказать второе достаточное условие экстремума.
- •Доказать теорему о пределе произведения функций.
- •Билет №12. Доказать достаточное условие выпуклости графика функции.
- •Доказать теорему о знакопостоянстве функции, имеющей отличный от нуля предел.
- •Билет №13. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции. Доказать необходимое условие.
- •Определена и непрерывна на отрезке .
- •Дифференцируема на интервале .
- •И на концах отрезка принимает одинаковые значения.
- •Доказать теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой.
- •Билет №21. Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.
- •1) Пеано
- •Сформулировать определение функции, непрерывной на отрезке. Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
- •Билет №22. Доказать первое достаточное условие экстремума функции.
- •Вывести 1 замечательный предел:
- •Билет №23. Доказать второе достаточное условие экстремума.
- •Вывести уравнение касательной и нормали к плоской кривой.
- •Билет №24. Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.
- •Вывести формулу для производной частного от деления двух функций.
- •Билет №25. Доказать первое достаточное условие экстремума функции.
- •Сформулировать определение функции, непрерывной на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •Билет №26. Доказать теоремы Ролля и Ферма.
- •1. Определена и непрерывна на отрезке .
- •2. Дифференцируема на интервале .
- •3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения.
- •Второе достаточное условие существования точки перегиба.
- •Определение б.Б. Функций. Теорема об их связи с б.М. Функциями.
- •Билет №28. Доказать достаточное условие выпуклости графика функции.
Второе достаточное условие существования точки перегиба.
Пусть ф-ция определена в и имеет производные до n-го порядка включительно в самой точке С, причем , а . Для того, чтобы точка (c, ) была точкой перегиба графики функции достаточно, чтобы n было нечетно.
Док-во: Рассмотрим в окрестности точки С, она как функция имеет производные до (n-2) – го порядка. Разложим ее по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. , где -б.м.ф. при . . . . Существует , (сохраняется знак предела). Если n-нечетное, существует такая, в пределах которой при переходе значения аргумента через С, вторая производная меняет знак. Согласно первому достаточному условию, точка (c, ) – точка перегиба.
Определение б.Б. Функций. Теорема об их связи с б.М. Функциями.
Функция определённая в называется б.б. функцией при , если , т.е.
Теорема:
I. Пусть функция является б.б.ф. при , тогда - представляет собой б.м.ф. при .
, тогда - б.м.ф. при .
II. Пусть функция - б.м.ф. при отличная от нуля в некоторой , тогда - б.б.ф. при .
, тогда - б.б.ф. при .
Билет №28. Доказать достаточное условие выпуклости графика функции.
Пусть определена и дважды дифференцируема на . Для того, чтобы график функции имел направление выпуклости вниз (вверх) достаточно, чтобы была неотрицательная (неположительная) на .
Доказательство:
Дано:
Доказать: - выпуклость вниз на .
Пусть .
Уравнение касательной:
, где , если , , если ,
, т.к.
график функции на лежит не ниже касательной выпуклость вниз на .
Доказать теорему о пределе промежуточной функции.
Пусть функции и имеет конечный предел А при и пусть тогда
Доказательство:
,
,
Рассмотрим , начиная с некоторого номера N и , будут одинакого выполняться . Значит,
Билет №29.
Доказать теорему Лагранжа.
Пусть функция .
Определена и непрерывна на отрезке .
Дифференцируема на интервале .
Тогда существует из интервала .
Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию , где - константа.
Она непрерывна на
дифференцируема на .
Все условия теоремы Ролля выполняются существует из
Вывести формулу для производной сложной функции.
Пусть функция , дифф. В точке t=t0, а функция - дифференцируема в точке , тогда функция дифференцируема в точке t=t0, причем .
Док-во (должны доказать, что ). Имеем, что . . .
Билет №30.
Кривизна плоской кривой, формула кривизны.
Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г.
- средняя кривизна кривой Г. Кривизной Г в точке S0 называют предел (если он существует) средней кривизны при стремлении к нулю. .
. Если , то полагают , прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания называется нормалью к кривой Г. Точка нормали, отстоящая от точки касания на величину, равную радиусу кривизны, называют центром кривизны. Совокупность всех центров кривизны данной кривой называют эволютой и обозначат . Сама кривая Г по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.
Некоторые свойства эволюты и эвольвенты:
Нормаль к кривой Г является касательной для эволюты в соответствующем центре кривизны.
При монотонном возрастании радиуса кривизны, приращение радиуса кривизны равно, по абсолютной величине, длине эволюты между соответствующими центрами кривизны.
Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г.