- •Информатика
- •Введение
- •1 Общие требования к выполнению и оформлению работ
- •2 Вычисление функции для заданных значений аргумента. Построение и форматирование графиков функции
- •3 Построение графика функций двух переменных
- •4 Решение систем линейных уравнений
- •5 Решение задач линейного программирования
- •6 Линейная интерполяция функции
- •7 Определение параметров линейной зависимости
- •8 Определение параметров квадратичной зависимости
- •9 Определение вида и параметров эмпирической зависимости
- •Библиографический список
6 Линейная интерполяция функции
Задание 14.
Найти приближенное значение таблично заданной функции:
X |
-1,5 |
-1 |
0 |
1 |
Y |
9 |
7 |
4.5 |
2 |
в точке
Руководство к выполнению Задания 14.
Уравнение прямой, проходящей через три точки, имеет вид:
Запишем формулу для искомого значения
Выделим отрезок , содержащий . В данном случае . Следовательно
Подставим в формулу, получим: отсюда y = 5,125.
Расчеты в программе EXCEL:
X |
-1,5 |
-1 |
0 |
1 |
|
Y |
9 |
7 |
4,5 |
2 |
|
Х0 |
-0,25 |
|
|
|
|
У0 |
5,125 |
=(B5-C2)/(D2-C2)*(D3-C3)+C3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 85
7 Определение параметров линейной зависимости
Задание 15.
Дана таблица экспериментальных данных:
-
X
1,5
2,3
3,1
3,9
4,7
5,5
6,3
Y
6,5
8,1
9,7
11,3
12,9
14,5
16,1
Показать, что зависимость Y(X) линейная, определить параметры этой зависимости.
Руководство к выполнению Задания 15.
а) Построим график по заданным точкам.
Рисунок 86
б) Докажем аналитически, что данная зависимость является линейной.
Если разделенные разности первого порядка для каждой i-той пары точек имеют близкие между собой значения, то данная зависимость является линейной,
X |
Y |
P1 |
1,5 |
6,5 |
2 |
2,3 |
8,1 |
2 |
3,1 |
9,7 |
2 |
3,9 |
11,3 |
2 |
4,7 |
12,9 |
2 |
5,5 |
14,5 |
2 |
6,3 |
16,1 |
|
Рисунок 87
Следовательно, данная зависимость имеет вид: .
в) Для определения параметров а и b данной зависимости методом наименьших квадратов необходимо решить систему уравнений
В расчетной таблице вычисление функций показано на Рисунке 88.
X |
Y |
Х*Х |
Х*У |
1,5 |
6,5 |
2,25 |
9,75 |
2,3 |
8,1 |
5,29 |
18,63 |
3,1 |
9,7 |
9,61 |
30,07 |
3,9 |
11,3 |
15,21 |
44,07 |
4,7 |
12,9 |
22,09 |
60,63 |
5,5 |
14,5 |
30,25 |
79,75 |
6,3 |
16,1 |
39,69 |
101,43 |
27,3 |
79,1 |
124,39 |
344,33 |
Рисунок 88
Последняя строка таблицы согласно Рисунку 88 содержит значения сумм по каждому столбцу. Система уравнений решается методом определения обратной матрицы согласно Рисунку 89.
Матрица |
коэффициентов |
|
Св. чл. |
|
124,39 |
27,3 |
|
344,33 |
|
27,3 |
7 |
|
79,1 |
|
Обратная матрица: |
|
Решение |
|
|
0,055804 |
-0,21763 |
|
a= |
2 |
-0,21763 |
0,991629 |
|
b= |
3,5 |
Рисунок 89
Для проверки найденного решения в формуле при вычислении F(x) необходимо закреплять адреса ячеек, где находятся значения a и b.
X |
Y |
F(X) |
1,5 |
6,5 |
6,5 |
2,3 |
8,1 |
8,1 |
3,1 |
9,7 |
9,7 |
3,9 |
11,3 |
11,3 |
4,7 |
12,9 |
12,9 |
5,5 |
14,5 |
14,5 |
6,3 |
16,1 |
16,1 |
Рисунок 90
Рисунок 91
Для определения параметров линейной зависимости в EXCEL используется функция ЛИНЕЙН (известные значения у; известные значения х; 1; 0). Работа в EXCEL оформляется следующим образом.
Вводятся заданные значения х и у.
Для определения параметров а и b выделяются две ячейки. Вызывается согласно Рисунку 92 функция ЛИНЕЙН. Согласно Рисунку 93 для первого параметра выделяются значения столбца у, для второго параметра – столбца х, третий и четвертый параметры остаются пустыми. Вводится функция тремя клавишами + + .
Рисунок 92
Рисунок 93
Для проверки надо вычислить значения F(X) для каждого значения X при полученных a и b согласно Рисунку 94.
Рисунок 94
Рисунок 95
На Рисунке 95 показан результат вычислений.