Тема 8. Статистическое изучение взаимосвязи

Пример 48

Имеются данные о распределении предприятий по дневной заработной плате и уровню организации (таблица 48.1).

Таблица 48.1 – Распределение предприятий по дневной заработной плате и уровню организации

Уровень организации Дневная зарплата	Ниже среднего	Средний	Выше среднего	Всего
Ниже среднего	6 2,77 (36)	7 2,45 (49)	9 4,77 (81)	22 9,99 0,45
Средняя	3 0,69 (9)	8 3,2 (64)	2 0,24 (4)	13 4,13 0,32
Выше среднего	4 1,23 (16)	5 1,25 (25)	6 2,12 (36)	15 4,6 0,31
Итого	13	20	17	50 1,08

Необходимо оценить тесноту связи между уровнем организации и дневной заработной платой с помощью коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова.

Решение

1 Возведем каждую частоту в квадрат и результат запишем в этой же клетке, только в скобках.

2 Делим каждое число, стоящее в скобках на число стоящее в итоговой строке соответствующего столбца и записываем в этой же клетке (например, ).

3 Полученные числа складываем по строкам и результат записываем в графе «Всего» (например, ).

4 В графе «Всего» в каждой клетке второе число делим на первое (например, ).

5 Полученные числа складываем и результат записываем в правом нижнем углу таблицы ( ).

6 Для исследования тесноты связи между признаками, рассчитаем коэффициенты Пирсона и Чупрова

и ,

где – показатель взаимной сопряженности;

– количество групп по первому признаку;

– количество групп по второму признаку.

Коэффициент Чупрова всегда меньше коэффициента Пирсона. Он дает обычно более осторожную оценку связи. Коэффициенты принимают значения от 0 до 1, и чем ближе к 1, тем теснее связь.

Показатель взаимной сопряженности

.

Рассчитаем коэффициент Пирсона

.

Рассчитаем коэффициент Чупрова

.

Так как коэффициенты Пирсона и Чупрова значительно ниже 1, то связь между признаками незначительна.

Пример 49

В результате обследования работников предприятия получены следующие данные (таблица 49.1).

Таблица 49.1 – Сведения об уровне образования и степени удовлетворенности работников своей работой

Образование	Удовлетворены своей работой	Не удовлетворены своей работой	Итого
Высшее и среднее	300	50	350
Незаконченное среднее	200	250	450
Итого	500	300	800

Требуется оценить тесноту связи между уровнем образования работников и удовлетворенностью своей работой с помощью коэффициентов ассоциации и контингенции.

Решение

Коэффициенты ассоциации и контингенции применяются тогда, когда исследуется связь между варьированием двух атрибутивных (пол, национальность, профессия) признаков, по каждому признаку имеется две группы (таблица 49.2).

Таблица 49.2 – Варьируемые атрибутивные признаки

	1	2	Всего
1	a	b	a+b
2	c	d	c+d
Итого	a+c	b+d	a+b+c+d

Коэффициент ассоциации

.

Коэффициент контингенции

.

Коэффициенты контингенции и ассоциации принимают значение от -1 до 1, показывают не только тесноту, но и направление связи.

Если коэффициент >0, связь прямая, <0 – обратная. Чем ближе коэффициент к ±1, тем связь теснее.

Полученные коэффициенты подтверждают наличие существенной связи между исследуемыми признаками. Однако коэффициент контингенции всегда бывает меньше коэффициента ассоциации и дает более корректную оценку тесноты связи.

Пример 50

Урожайность плодов и ягод по Могилевской области за 2007 год характеризуется данными, представленными в таблице 50.1.

Таблица 50.1 – Показатели урожайности плодов и ягод по колхозам Могилевской области за 2007 год

Номер колхоза	Урожайность, ц/га ( )	Внесено удобрений на 1 га ( )	Знаки отклонений
1	31,9	15,5	-	-
2	33,3	11,3	-	-
3	32,9	39,7	-	+
4	34,4	15,7	-	-
5	52,3	61,4	+	+
6	26,4	14,6	-	-
7	39,4	47,4	-	+
8	41,6	50,1	+	+
9	77,3	80,5	+	+
10	45,9	45,1	+	+
Итого	415,4	381,3

Определите тесноту связи с помощью коэффициентов знака Фехнера между урожайностью плодов и ягод по колхозам Могилевской области и количеством внесенных удобрений.

Решение

Коэффициент Фехнера основан на методе параллельных рядов. Суть его в том, что сравниваются знаки отклонений значений признака от их средних арифметических.

Найдем средние арифметические по формуле

; .

; .

Рассмотрим совпадение и несовпадение знаков отклонений.

Совпадение знаков (С) означает согласованную вариацию, а несовпадение (Н) – нарушение этой согласованности.

С = 8; Н = 2.

Коэффициент Фехнера вычисляется по формуле

.

Принимает значения от –1 до +1. Знак «–» означает, что связь обратная, «+» − связь прямая. Чем ближе коэффициент к ±1, тем связь теснее.

Вычислим коэффициент Фехнера:

.

Следовательно, связь прямая и заметно согласованная.

Пример 51

По группе акционерных коммерческих банков региона имеются данные о сумме прибыли банков и размере активов (таблица 51.1).

Таблица 51.1 – Информация о размере прибыли коммерческих банков и стоимости активов

№ банка	Активы банка, млн руб.	Прибыль банка, млн руб.
1	866	39,6
2	328	17,8
3	207	12,7
4	185	14,9
5	109	4,0
6	104	15,5
7	327	6,4
8	113	10,1
9	91	3,4
10	849	13,4

Исчислить коэффициент корреляции рангов для оценки тесноты связи между суммой прибыли банка и размером его активов.

Решение

Для расчета коэффициента корреляции рангов предварительно выполняется ранжирование банков по уровню каждого признака (таблица 51.2).

Таблица 51.2 – Ранжирование банков

№ банка	Активы банка, млн руб. ( )	Ранг по	№ банка	Прибыль банка, млн руб. ( )	Ранг по
9	91	1	9	3,4	1
6	104	2	5	4,0	2
5	109	3	7	6,4	3
8	113	4	8	10,1	4
4	185	5	3	12,7	5
3	207	6	10	13,4	6
7	327	7	4	14,9	7
2	328	8	6	15,5	8
10	849	9	2	17,8	9
1	866	10	1	39,6	10

Коэффициент корреляции рангов найдем по формуле

,

где – разность рангов;

– число единиц совокупности.

Дальнейшие расчеты произведем в таблице 51.3.

Таблица 51.3 – Вспомогательная таблица для расчета коэффициента корреляции рангов

Активы банка, млн руб. ( )		Прибыль банка, млн руб. ( )	Ранги		(ранг – ранг )
1	866	39,6	10	10	0	0
2	328	17,8	8	9	- 1	1
3	207	12,7	6	5	1	1
4	185	14,9	5	7	- 2	4
5	109	4,0	3	2	1	1
6	104	15,5	2	8	- 6	36
7	327	6,4	7	3	4	16
8	113	10,1	4	4	0	0
9	91	3,4	1	1	0	0
10	849	13,4	9	6	3	9
Итого					0	68

Следовательно, связь между признаками прямая и заметная.

Пример 52

По группе предприятий имеются данные о стоимости суммарных активов и сумме чистой прибыли (таблица 52.1).

Таблица 52.1 – Информация о стоимости суммарных активов предприятий и размере их чистой прибыли

№ предприятия	Суммарные активы, млн руб.	Чистая прибыль, тыс. руб.
19	4 613	345
20	5 929	502
21	1 705	123
22	4 591	361
23	6 321	466
24	802	70
25	1 778	132
26	773	81
27	2 186	185
28	6 768	492
29	4 362	368
30	7 129	476
31	914	68
32	5 227	386
33	4 355	377

На основании приведенных данных

1) оценить тесноту связи между результативным и факторным признаком с проверкой коэффициента корреляции на значимость;

2) построить линейное уравнение парной регрессии между чистой прибылью и суммарными активами, оценить на основании расчета различных коэффициентов полученные результаты.

Решение

1 Необходимые данные вычислим в таблице 52.2.

Таблица 52.2 – Вспомогательная таблица

№ предприятия	Суммарные активы, млн руб. ( )	Чистая прибыль, тыс. руб. ( )
19	4 613	345	1 591 485	21 279 769	119 025
20	5 929	502	2 976 358	35 153 041	252 004
21	1 705	123	209 715	2 907 025	15 129
22	4 591	361	1 657 351	21 077 281	130 321
23	6 321	466	2 945 586	39 955 041	217 156
24	802	70	56 140	643 204	4 900
25	1 778	132	234 696	3 161 284	17 424
26	773	81	62 613	597 529	6 561
27	2 186	185	404 410	4 778 596	34 225
28	6 768	492	3 329 856	45 805 824	242 064
29	4 362	368	1 605 216	19 027 044	135 424
30	7 129	476	3 393 404	50 822 641	226 576
31	914	68	62 152	835 396	4 624
32	5 227	386	2 017 622	27 321 529	148 996
33	4 355	377	1 641 835	18 966 025	142 129
Итого	57 453	4 432	22 188 439	292 331 229	1 696 558

Оценка тесноты связи определяется с помощью коэффициента корреляции

;

; .

; .

; .

.

Так как , то связь прямая, сильная.

2 Линейное уравнение парной регрессии имеет вид

.

, т. е. при увеличении стоимости суммарных активов на 1 млн руб. чистая прибыль в среднем увеличивается на 0,072 тыс. руб.

.

Таким образом

Коэффициент детерминации или 96,49%, т. е. вариация результативного признака на 96,49% обусловлена различиями факторного признака и на 3,51% (100 – 96,49) – другими факторами.

Коэффициент эластичности , т. е. при увеличении стоимости суммарных активов на 1% чистая прибыль в среднем увеличится на 0,9332%.

Учебное издание