19) Разряд конденсатора на цепь с резистором и катушкой

Рис. 5.13

Пусть в цепи, изображенной на рис. 5.13, конденсатор был заряжен до напряжения u_C(0_-) = U₀. Исследуем процессы в контуре, образованном резистором, конденсатором и катушкой после замыкания в момент t = 0 ключа. Так как источники в цепи отсутствуют, то установившиеся составляющие решений равны нулю. Решение будет состоять из одной свободной составляющей. Составление характеристического уравнения. Определение собственных частот цепи

По второму закону Кирхгофа t ≥ 0 имеем:

.

Учитывая, что  , получаем дифференциальное уравнение второго порядка для свободной составляющей напряжения

.

Характеристическое уравнение при этом имеет вид:

.

Характер электромагнитных процессов в контуре зависит от соотношения параметров R, L, С, входящих в выражение для корней характеристического уравнения

.

В зависимости от знака подкоренного выражения корни могут быть вещественными или комплексно-сопряженными. Они определяют характер свободных составляющих переходных токов и напряжений.

20) Апериодический режим. Условие a > w ₀ , как нетрудно убедиться, эквивалентно соотношениям: R > 2r и Q < 0.5, где r = Ö L / C - характеристическое сопротивление контура, а Q = r / R - его добротность. Таким образом, в рассматриваемом случае контур имеет значительные потери, т.е. является низкодобротным.

При этом корни (1.27) p_1,2 = - a ± b , где b =  < a , являются вещественными отрицательными числами. Подставляя эти корни в (1.29) и (1.30), получим решение для функции напряжения на емкости:

.

(1.31)

Качественный график полученной функции показан на рис. 1.26. Переходное напряжение на емкости имеет апериодический ( неколебательный) характер и представляет из себя монотонно возрастающую функцию. Происходит апериодический заряд конденсатора до напряжения источника U₀ .

 

Рис. 1.26.

На этом же рисунке приведены качественные графики тока i(t) и напряжения на индуктивности u_L(t), при построении которых принималось во внимание то, что в цепи апериодический режим переходных процессов, а также соотношения, связывающие указанные функции с найденной функцией u_С(t). Начальные значения i(0₊)=0 и u_L(0₊)= U₀ , что следует из нулевых независимых начальных условий и уравнения Кирхгофа (1.24) для момента времени t=0₊: Ri(0₊) + u_L(0₊) + u_C(0₊) = u_L(0₊) = U₀ . Конечные или установившиеся значения, согласно рис. 1.25, равны i_уст = 0;u_Lуст = 0. Поскольку напряжение на индуктивности пропорционально производной от тока, то оно должно быть положительным во время возрастания тока и отрицательным во время его убывания.

21) Критический режим. Если a =w ₀ , то R = 2r и Q = 0,5. При этом корни (1.27) характеристического уравнения р₁ = р₂ = - a т.е. вещественные, отрицательные, равные. Рассматриваемый случай можно свести к апериодическому режиму и рассмотреть решение (1.31) при b =0 . При этом получается неопределенность, раскрывая которую по правилу Лопиталя, получим

 

В решении появляется характерный для случая кратных корней множитель t перед экспонентой. Качественно характер переходных процессов в критическом режиме не отличается от апериодического режима.

22) Колебательный режим. При выполнении условия a < w ₀ или R < 2r и Q > 0,5 корни (1.27) характеристического уравнения будут комплексными p_1,2 =- a ± j = - a ± jw _k , где w _k =   - угловая частота свободных затухающих колебаний. При подстановке этих корней в (1.29) и (1.30) получим

Далее, используя формулы Эйлера для экспонент с мнимыми показателями, окончательно найдем

u_C(t) = U₀ - U₀ e- a ^t [(a / w _k) sinw _kt +cosw _kt].

(1.32)

Качественный график полученной функции напряжения на емкости показан на рис. 1.27.

Рис. 1.27

При малых потерях в контуре (R < 2r ) переходный процесс имеет характер затухающих гармонических колебаний. Степень затухания зависит от показателя экспоненты a = R / 2L, который называется коэффициентом затухания. Период затухающих колебаний T_k определяется круговой частотой w _k и равен  . На практике степень затухания колебаний часто оценивают декрементом затухания D , который определяет уменьшение амплитуды свободных колебаний за время периода. Из (1.32) следует, что

.

Для оценки степени затухания используется также логарифмический декремент затухания ln  = a T_k.

24. Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию F(p)комплексного переменного (изображение) с функцией f(x) действительного переменного (оригинал).

Преобразованием Лапласа от функции f(x) (оргигинала) называется функция:

f(x) называют оригиналом преобразования Лапласа, а F(p) - изображением преобразования Лапласа. f(x) и F(p) однозначно определяются друг относительно друга, тоесть если Вы знаете f(x), то всегда можете узнать F(p), и наоборот, если знаете F(p), то всегда можете получить f(x).