8)Метод кауера для синтеза реактивных пассивных двухполюсников по первой цепочечной схеме.

Перша канонічна схема Кауера містить індуктивності у поздовжніх і ємності в поперечних вітках. Вхідний опір або вхідну провідність східчастого кола можна

представити у вигляді ланцюгових дробів, елементи яких дорівнюють

комплексним опорам двополюсників, які утворюють поздовжні вітки кола,

і комплексним провідностям двополюсників, які утворюють поперечні

вітки.

9) Метод кауера для синтеза реактивных пассивных двухполюсников по второй цепочечной схеме.

Згідно з методом Кауера реактивний двополюсник, заданий вхідною

характеристикою H(p), реалізується у вигляді східчастого кола,

побудованого за першою чи другою канонічними схемами.

друга канонічна схема Кауера

(рис. 6.1, б) містить ємності у поздовжніх вітках, а індуктивності – в поперечних. Вхідний опір або вхідну провідність східчастого кола можна

представити у вигляді ланцюгових дробів, елементи яких дорівнюють

комплексним опорам двополюсників, які утворюють поздовжні вітки кола,

і комплексним провідностям двополюсників, які утворюють поперечні

вітки.

10) Комутация и основные понятия.

Коммутация — процессы, происходящие в первый момент времени после переключения в электрических цепях при замыканиях и размыканиях различных участков цепи;

Перший закон комутації: у початковий момент після комутації струм через

індуктивність зберігає таке ж значення, що й безпосередньо перед

комутацією

Другий закон комутації: у початковий момент після комутації напруга

на ємності зберігає таке ж значення, що й безпосередньо перед

комутацією

11) ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПРОСТЕЙШЕЙ RL-ЦЕПИ

Процессы в RL-цепи с последовательным соединением элементов (рис. 15.4, а) рассчитываются аналогично.

Рис. 15.4

Дифференциальное уравнение для тока имеет вид

L di/dt + Ri = u₀(t).

Оно не требует преобразования, так как сам ток i является переменной состояния. Запишем общее решение уравнения в виде суммы вынужденной и свободной составляющих

Характеристическое уравнение

имеет корень  = – R/L, поэтому общее решение однородного уравнения будет иметь вид

где  = L/R — постоянная времени индуктивной цепи.

Вид частного решения i' зависит от характера напряжения источника.

12. Включение к источнику постоянного напряжения (u₀(t) = U₀ = const). В этом случае при t  в цепи устанавливается постоянный ток, падение напряжения на индуктивности становится равным нулю, и все напряжение источника приложено к резистору. Поэтому этот ток будет равным i' = U₀/R. Теперь для определения значений постоянной A в общем решении

используем, как и выше, закон коммутации — условие непрерывности тока в цепи в момент коммутации. Так как до замыкания i(– 0) = 0, то

и A = – U₀/R. Это приводит к окончательным выражениям для тока в цепи и напряжения на индуктивности

Характер зависимостей тока и напряжения на катушке от времени (рис. 15.4, б) аналогичен кривым для u_C(t) и i(t) в RC-цепи.

13) Замыкание цепи RL накоротко. Процессы при коротком замыкании цепи, в которой ранее протекал ток I₀ (рис. 15.5, а), описываются однородным уравнением (u₀(t) = 0);

Рис. 15.5

общее решение для тока в цепи имеет лишь свободную составляющую

Из начального условия имеем i(0) = I₀ = A, поэтому окончательно

а напряжение на катушке равно

Соответствующие кривые изображены на рис. 15.5, б. Ток после замыкания катушки сохраняет направление, а напряжение принимает скачком в момент коммутации значение – I₀R, после чего спадает по экспоненте. При большом значении сопротивления цепи разряда начальный скачок может вызвать перенапряжение на элементах цепи. Так, если закорачивающая ветвь сама имеет большое значение сопротивления R₀ >> R (изображено штриховой линией на рис. 15.5, а), модуль  начального напряжения возрастет до значения I₀(R + R₀), что может привести к повреждению элементов цепи.

15) ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПРОСТЕЙШЕЙ RC-ЦЕПИ

При анализе подключения RC-цепи к источнику напряжения u₀(t) (рис. 15.1, а), согласно сказанному выше, из уравнений, составленных для цепи после коммутации, —  

Рис. 15.1

при замкнутом ключе

исключим ток и сведем их к одному уравнению относительно переменной состояния u_C:

Общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид суммы частного решения неоднородного и общего решения однородного уравнений

Для нахождения второго из них составим характеристическое уравнение RC + 1 = 0, корнем которого является = – 1/RC. Общее решение однородного уравнения — свободная составляющаянапряжения u"_C — соответствует цепи с исключенным источником

где A — пока неопределенная константа;  = RC — величина, имеющая размерность времени, характеризующая скорость протекания переходного процесса, так называемая постоянная времени.

Характер частного решения — вынужденной составляющей u'_C — определяется видом воздействующего на цепь напряжения источника u₀(t). В простейших случаях  подключения цепи к постоянному источнику u₀(t) = U₀ = const и замыкания конденсатора на резистор, когда u₀(t) = 0, составляющую u'_C можно найти, руководствуясь следующими соображениями. Вид общего решения u_C = u'_C + A e^–t/ показывает, что u'_C представляет собой значение напряжения на конденсаторе, которое будет достигнуто в установившемся режиме после окончания переходного процесса. Действительно, при t  u_C(t)   u'_C, так как свободная составляющая u"_C с течением времени затухает. Рассмотрим перечисленные случаи.

16) Заряд конденсатора от источника постоянного напряжения u₀(t) = U₀. К концу переходного процесса на конденсаторе установится напряжение источника U₀, т. е. u'_C = U₀. Отсюда

Для определения постоянной A используем начальное условие. Согласно закону коммутации, напряжение на конденсаторе в момент замыкания ключа остается непрерывным. Поэтому если в исходном состоянии до замыкания ключа конденсатор не был заряжен (u_C(– 0) = 0), то это же нулевое значение u_C сохранит и непосредственно после замыкания. Из последнего выражения приt = 0 имеем

Отсюда найдем A = – U₀ и запишем окончательно

u_C(t) = U₀(1  e^t/).

Из исходных уравнений цепи получим для тока:

Характер изменения тока и напряжения при подключении RC-цепи к источнику постоянного напряжения изображен на рис. 15.1, б.

Значение тока, содержащее лишь свободную составляющую, максимально в начальный момент времени, когда оно скачком достигает значения U₀/R, и все напряжение источника приложено к резистору. По мере зарядки конденсатора напряжение на нем повышается, это ведет к соответственному уменьшению тока в цепи. Скорость этих процессов определяется постоянной времени . Она определяет время, за которое происходила бы зарядка конденсатора, если бы скорость зарядки сохранялась постоянной и равной ее значению в начале процесса (см. рис. 15.1, б). Так как скорость зарядки замедляется по мере увеличения напряжения, то за время, равное постоянной времени t = , свободные составляющие уменьшаются по сравнению со своим начальным значением в e   2,718 раза. За время t = 3 свободные составляющие затухают в e³   20,09 раза, а за время t = 5 — в е⁵   148 раз.

17). Разряд конденсатора на резистор (рис. 15.2, а).

Рис. 15.2

Для расчета тока при разряде и напряжения u_C исходном уравнении следует положить u₀(t) = 0, что приводит его к однородному уравнению:

а напряжения и токи содержат лишь свободные составляющие. Поэтому его общее решение имеет вид

где константы A и  сохраняют прежний смысл.

Для определения значения A используем начальное условие — значение напряжения u_C(0) = U₀, до которого конденсатор был заряжен к моменту замыкания ключа. При t = 0 имеем

и окончательно для напряжения u_C запишем

Значение тока разряда определим из исходных уравнений

Соответствующие кривые изображены на рис. 15.2, б. Напряжение на конденсаторе непрерывно в момент коммутации и уменьшается по экспоненциальному закону от начального значения U₀. Скорость протекания разряда определяется постоянной времени  = RC.