4. Случайные события. Потоки событий.

Случайные события

Случайным называется событие, которое при определённой совокупности условий (во время испытаний) может произойти или не произойти. Каждому событию из множества возможных соответствует вероятность события. Вероятность достоверного события, которое обязательно должно произойти равна 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность любого случайного события есть положительное число, заключённое между 0 и 1.

События называются несовместными, если появление одного из них исключают появление других событий в одном и том же испытании. События называются независимыми, если появление одного события не изменяет вероятность появления другого события.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытаний появится хотя бы одно из них. Если при этом события попарно несовместны, то в результате испытаний появятся только одно из них.

Потоки событий

Потоком событий называется последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами наступления событий.

,t-1., ,t-2., …, ,t-i.,,t-i+1.,…,,t-n. (,t-i.<,t-i+1.)

Поток неоднородных событий характеризуется моментами времени наступления событий и набором признаков

,ψ-1., ,ψ-2., …, ,ψ-i.,,ψ-i+1.,…,,ψ-n.

К числу признаков может относиться, например, приоритет заявки.

Поток событий может обладать свойством стационарности, которое заключается в том, что вероятность появления k-событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности промежутка и не зависит от положения промежутка на оси времени.

Поток событий может обладать свойством отсутствия последействия, если появления k-событий на любом промежутке времени не зависит от предыстории, т.е. от того появлялись ли события в предыдущие моменты времени.

Поток событий может обладать свойством ординарности, если появление двух или более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Если поток событий обладает свойствами стационарности, отсутствие последействия и ординарности его называют простейшим (пуассоновским) потоком.

Интенсивностью потока называется среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Для простейшего потока время между двумя соседними событиями является случайной величиной с показательным распределением.

Его можно задать функцией распределения:

где - параметр распределения (интенсивность потока).

МО времени T между соседними событиями:

Соответственно СКО времени T между соседними событиями:

5. Центральная предельная теорема теории вероятностей.

ЦПТ (теорема Ляпунова) содержит доказательства того, что если случайные величины

,X-1., ,X-2., …, ,X-n.

независимы, одинаково распределены и имеют конечные математические ожидания и дисперсии , то распределения суммы этих СВ при неограниченном увеличении n приближается к нормальному распределению.

На практике теорему Ляпунова можно использовать уже при n>10.