17. Построение матрицы планирования при полнофакторном эксперименте. Нулевой уровень. Интервал варьирования. Принципы оптимальности матрицы планирования.

Принципы построения матрицы планирования:

1) в первом столбце записывают значение фиктивной переменной x₀=+1, во втором – знаки (+1 и –1) меняются поочередно, в третьем – через два, в четвертом – через четыре и т.д. по степеням двойки;

2) при добавлении нового фактора каждая комбинация нового плана встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора;

3) для фактора, отражающего взаимодействие (x₁·x₂, x₁·x₂·x₃) новый столбец получают путем перемножения двух (трех и т.д.) столбцов исходного плана.

Например, матрица планирования для ПФЭ 2³ в кодированных переменных будет выглядеть следующим образом.

x0	x1	x2	x3	x1·x2	x1·x3	x2·x3	x1·x2·x3	yu
+ + + + + + + +	– + – + – + – +	– – + + – – + +	– – – – + + + +	+ – – + + – – +	+ – + – – + – +	+ + – – – – + +	– + + – + – – +	y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

Нулевой уровень, или нулевая точка, фактора – это некоторое начальное значение фактора при составлении математической модели процесса. При выборе нулевых точек факторов следует руководствоваться условием «попадания» центра эксперимента в область оптимальных значений выходного параметра.

Интервал варьирования часть области определения фактора, выбранная симметрично относительно его нулевого уровня. Основное требование к интервалу варьирования состоит в том, чтобы он не превышал удвоенной среднеквадратичной ошибки фактора.

Матрица планирования ПФЭ обладает свойствами ортогональности и ротатабельности.

Ротатабельность предполагает минимум дисперсии предсказанного значения выходного параметра в любой точке факторного пространства при равенстве дисперсий в точках, расположенных на одинаковом расстоянии от центра плана.

Ортогональность позволяет при расчете коэффициентов уравнения регрессии по методу наименьших квадратов использовать следующие свойства:

;

;

В уравнениях п – число факторов, N – число опытов, и – номер опыта (и=1, 2, ..., N). Кроме того, ортогональность двух столбцов означает полное отсутствие корреляции соответствующих факторов. Следовательно, и оценки параметров оказываются некоррелированными. Это дает возможность оценить независимо влияние каждого фактора, а также легко упрощать модель, если какой-либо член окажется незначимым: такой член исключают из уравнения, и это никак не сказывается на величине остальных параметров. Некоррелированность позволяет к тому же легко проверить гипотезу о значимости факторов, что, как отмечалось выше, крайне сложно, если факторы не независимы.

После построения матрицы планирования приступают к проведению экспериментов. Важно отметить, что порядок опытов в матрице планирования не должен определять реальную последовательность выполнения опытов, т.е. они должны быть рандомизованы. Часто каждый опыт (каждая строка матрицы планирования) повторяется несколько раз – это делается для оценки дисперсии воспроизводимости. Другой прием, применяемый для оценки дисперсии воспроизводимости, – постановка специальной серии параллельных опытов в центре плана, т. е. в точке с координатами (0, 0, 0, .., 0).

Расчет коэффициентов регрессии проводят по формулам:

где b_ij – коэффициент регрессии, характеризующий взаимодействие факторов x_iu·x_ju.

После вычисления коэффициентов регрессии переходят к статистическому анализу уравнения регрессии, который состоит из трех основных этапов: 1) оценка дисперсии воспроизводимости (или оценка ошибки опыта), 2) оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии и 3) оценка адекватности модели.