38. Метод наименьших квадратов. Постановка задачи и общий вид решения. Система нормальных уравнений

Метод наименьших квадратов-суммы квадратов отклонений выходного параметра объекта и модели должны быть минимальным

Или с учетом ур-я:

Т.е. наилучшими будут те значения параметров bпри кот. Сумма квадратов отклонений расчетных величин от экспериментальных окажется наименьшей

Достоинства этого метода

• Простота вычислительных операций

• Высокая точность результатов(при достаточном объеме данных)

Т.о. процедура нахождения коэф. Ур-я регрессии сводится к задаче определения min ф-ции

Необходим условием min ф-ции нескольких переменных является выполнение условия равенства нулю частных производных по искомым величинам(коэффициентом полинома)

Преобразуем полученные выражения,раскрывая скобки и перенося y_u в правую часть ур-я,перейдем к системе так называемых нормальных ур-й

Решение системы ур-й дает

Коэ-т b0 проще найти по изв-муb1 из первого ур-я системы

Т.о. между коэф-ми b0 и b1 существует кореляционная связь

Для оценки тесноты связи линейной зависимости исп-сявыборочныйкоф-т парной кореляции

N-число экспериментов

и —среднее значение фактора и выходного параметра.

-среднеквадратичное отклонение xи y

В результате преобразований получим следующую формулу для расчета коэф. парной корреляции

Тогда из уравнений получаем еще одну формулу записи ур-я регрессии

39. Решение дифференциального уравнения однопараметрической диффузионной модели в общем виде. Понятие о комбинированных моделях.

Структуру потока соотв.ОДМ можно представить следующим образом .некоторая технологическая среда перемещается с линейной скоростью и в продольном канале вдоль которого происходит перемешивание за счет прямого и обратного потоков при равномерном распред. в-ва в направлении перпендикулярно движению.При разработке ОДМ принимают следующие допущения:

1. Изменение концентрации вещества является непрерывность ф-ции координаты х(расстояние по длине аппарата)

2. Концентрация в-ва в котором сечение потока постоянно

3. Объемная скорость( ,где S- площадь сечения)и коэфф. Продольного перемещенияD_Lне изменяется по длине и сечению потока

Решение ДУ ОДМ в общем виде

Решение ур-я ОДМ в частных производных можно найти с помощью преобразований по Лапласу , для чего ур-е следует записать в след. Виде,принимая что с=f(x,t)

Здесь D_L и U- постоянные величины,а х не зависит от t.

Преобразуем ДУ по Лапласу,учитывая что преобразованию подлежат лишь временные ф-ции:

Или

Чтобы записать решение однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэф.необходимо определить корни характеристического ур-ия

Корни ур-я

Из предыдущего выражения видно,что корни r1 и r2 являются действительными и разными ,поэтому общий вид решения ур-й будет выглядеть

Где и - постоянные интегрирования

Чтобы использовать изображения решения ОДМ для конкретного случая ,следует определить постоянные интегрирования .Для этого следует выбрать начальные и граничные условия .Начальные условия принимают=0,граничные условия могут быть различными ,в зависимости от конструкции аппарата .

Недостатки ОДМ:

1.сложность определения граничных условий

2. необходимость оценки коэф. Продольного перемешиванияD_L

ОДМ дает возможность достаточно хорошо воспроизвести свойства реального потока при исследовании многих аппаратов(пленочных,распылительных и др)

Комбинированные модели

При характер движения реальных потоков бывает что ни одна из ранее рассмотренных моделей не воспроизводит достаточно точно ,с-ва реального потока. Это связано с тем,что в разных частях аппарата устанавливается своя структура потока. Гидродинамика потока сильно неупорядочена и наблюдаются явления такого рода как застойные зоны, байпасирование, рециклы, проскальзывание и т.д. В таких случаях прибегают к построению комбинированных моделей. На основе приведенных ранее простейших моделей с добавлением застойных зон, байпасирования и рецеркуляции отдельных частей потоков. Математич. модель при этом усложняется, однако обеспечивается ее более высркаяточность. Принцип построения комбинированных моделей состоит в точ,что исследуемый процесс рассматривают расчлененным на отдельные участки(зоны), соедененные последовательно, ,или по схеме с обратной связью.Приэтом комбинированная модель представляет собой сочетание матем. Описаний всех зон составляющих процесс

При построении комбинированных моделей учитывают следующие режимы движения жидкости(газа),кот. Могут возникать в реальных аппаратах.

1. Зостойные зоны.они представляют собой относительно движущиеся участки жидкости, кот. Можно считать в определенном приблежении полностью неподвижными. Принятосчитать,если частица потока на каком то участке аппарата остается дольше чем удвоенное среднее время пребывания, тогда это указывает на наличие застойной зоны

2. Бойпасный поток.это часть жидкости(газа)движущаяся аппарата или некоторой его зоне в результате чего ,часть потока попадает на выход не притерпевая каких-либо изменений

3. Циркуляционные потоки.Это всякого рода возвраты потоков.Часть жидкости(газа) которая выводится за пределы аппарата или определенной его части возвращается в него снова и смешивается со свежими порциями в-ва на входе аппарата или в некоторой его зоне.