54. Оптимизация химико-технологических процессов методом дихотомии

График поиска максимума методом дихотомии

Рассмотрим поиск экстремума функции (мах) на отрезке от а до b.Разделим отрезок пополам, получим точку л (левая). Рассчитаем F(л) для этой точки. Выберем малое приращение фактора х=ε. Поставим на отрезке правую точку п, координаты которой задаются следующим выражением: л+ε. Рассчитаем F(п) для правой точки. Согласно данному рисунку F(л)>F(п). Тогда если функция унимодальна , максимум находится в левой части отрезка. Отбрасываем правую половину отрезков- на ней мах нет. Для этого точку b переносим в точку л. Этот перенос обозначен стрелкой. После переноса задача вернулась к исходным данным, Задан отрезок [а;b], на котором необходимо найти мах. Проводят циклы расчете аналогично предыдущему, за исключением х в точке b. Снова делят отрезок пополам, ставят вспомогательную точку на расстоянии ε и в зависимости от полученных значений из целевой функции переносят правую или левую точку интервала в середину. Такой алгоритм расчета слагается из одинаковых циклов, только различные исходные данные- назыв. итерационными. В целом итерации можно проводить до бесконечности, но на практике в подобных расчетах задают правила останова, определяющие, когда можно прекращать расчет. Например: итерацию останавливают, если интервал неопределенности окажется меньше ε

Эффективность метода дихотомии

где q- количество проведенных расчетов целевой функции

55. Методы направленного поиска (мнп). Унимодальность функции. Одномерный и многомерный поиск.

МНП является более эффективными, но не обладают той универсальностью, которая характерна для метода сканирования. Для МНП характерно направленное продвижение в факторном пространстве в сторону экстремума целевой функции. Но основным требованием, которое следует выполнять при использовании МНП явл условие унимодальности функции. Унимодальная ф-ция- это функция, имеющая в допустимой облости только один экстремум нужного знака (мах или мин).

1. У нимодальная функция

2. Унимод-я ф-ция при поиске мах

3. неунимодальная

Основной недостаток метода направленного поиска: они не позволяют установить единственный найденный экстремум, а если установлено, что он единственный, каким он является: глобальным(экстремальный для всей области значений) или локальный (др точки могут оказаться выше для мах или ниже для мин функции). Если вычислено, что функция неунимодальна, тогда необходимо исследовать функцию сканированием и выделить обл глобального экстремума. При выборе метода направленного поиска учитывают количества факторов, влияющих на целевую функцию и выделяют два основных случая: 1) одномерный поиск (целев функция зависит от одного фактора);

2) многомерный поиск (факторов больше одного).

56.Поиск оптимума численными методами.

Численные методы поиска применяют, если в точке экстремума отсутствует производная. Изменение целевой функции носит дискретный характер (когда целевая функция меняется дискретно от первого варианта к другому). Производная в точке экстремума может отсутствовать и у непрерывной функции. Например если экстремум расположен на краю обл. допустимых значений.

В о- вторых целевая функция настолько сложна и задана таким образом, что продифференцировать её невозможно. Суть численных методов- вычисляется начение целевой функции при заданных значениях аргументов, сопоставление рассчитанных значений позволяет выявить, в каком направлении следует двигаться, чтобы найти оптимум.

Оптимизация перебором.Метод используется, если число возможных вариантов ограничено. Рассчитывают значения целевой функции (F) для каждого из вариантов и сопоставляют их между собой. Недостаток: является не эффективным ввиду значительного объёма вычислений.

Достоинства: простота, возможность нахождения оптимизирующих параметров значение которых другими методами получить невозможно.

Метод сканирования:Метод близкий к методу перебора, но применяется к непрерывным функциям. Рассмотрим случай одномерного сканирования (функция зависти от значения одного фактора). Зададим пределы изменения х от а до b.( а,b-ограничения, которые устанавливаются исследованием).Данный интервал [а;b] на котором происходит поиск значений целевой функции называется интервалом неопределённости. Задача поиска экстремума целевой функции заключается в сужении интервала неопределённости. При этом не требуется определить точку экстремума абсолютно точно. Достаточно сузить интервал неопределённости до определённых минимальных заданных значений переменной величины. Например: если оптимальное время заключена впределах 1050-1051К то большая точность не требуется т.к. в промышленности точность поднимания температуры не превышает +-10 градусов.Т.о. сужение интервала менее одного градуса не имеет смысла.

Суть метода: выбираем целое число q-количество значений целевой функции, которую необходимо рассчитать. Определим значение ∆х:

Отложим от а до b на графике равные интервалы ∆х. Границы каждого интервала назовём узлами. В каждом значении рассчитаем значение F(x). Находим максимальное (минимальное) значение F(x)- в данном случае 3-я точка. Интервал неопределённости при завершении расчёта будет сужен до значений равных 2∆х. Истинным максимально может лежать либо слева либо справа от полученной наилучшей точке (3-я).

Э ффективность метода рассчитывается:

При сканировании для достижения ∆ величина q должна быть велика, но метод малоэффективен, но преимуществом его является возможность первоначального исследования функции, что позволяет представить её на всём отрезке, установить число экстремумов их локализацию. При исследовании целевой функции зависящей от более чем одного фактора-участок на поверхности (факторное пространство) покрывают сетью узлов и исследуют поведение функции на этом участке. Это возможно в любом к-мерном пространстве.Чем больше к тем больше количество расчётов- эффективность падает.