44. Виды моделей при планировании эксперимента по методике Шеффе. Методика расчета коэффициентов аппроксимирующих полиномов. Выделение локальных областей.

Из числа наиболее опробованных планов можно указать два типа симметричных планов: Шеффе и Дрейпера-Лоуренса. Первые для двух- и трехкомпонентных смесей при одинаковом числе параллельных наблюдений в каждой точке плана в случае моделей в виде третьей степени весьма удачны. Они минимизируют случайные ошибки предсказания этими моделями поверхности отклика. Однако точность моделей ухудшается при использовании планов Шеффе выше третьего порядка.

Планы на симплексных решетках, т.е. планы Шеффе, не обладают обычно свойством композиционности, т.е. для перехода к построению более сложной модели исследователю приходится ставить новые опыты, не полностью используя информацию, полученную из предыдущих опытов. Чтобы уменьшить подобные потери, либо выбирают координаты для контрольных точек в точках плана модели более высокого порядка, либо сразу строят план модели более высокого порядка (n₂>n₁). В многокомпонентных сплавах приходится строить полиномы сравнительно высоких степеней. Условие нормировки облегчает эту задачу, позволяет вместо полных многочленов вида

y=b₀+

использовать либо канонические полиномы Шеффе:

либо однородные полиномы:

Число экспериментальных точек симплексного плана зависят от числа компонентов изучаемой смеси к и выбранной степени полинома

,

где к – число компонентов в смеси,р – степень полинома

Например для получения модели четвертой степени (р=4) для системы из пяти компонентов (к=5) необходимо провести следующее число опытов (N)

Использование приведенных полиномов позволяетт уменьшить число опытов для аппроксимации свойств и оценки адекватности модели полиномами одного и того же порядка.

Виды моделей и расчет коэффициентов. Коэффициенты аппроксимирующих полиномов представляют собой комбинации значений изучаемого свойства, полученных в узлах симплексных решеток для S-компонентных смесей n-го порядка.

Например, в модели второго порядка для трехкомпонентной смеси:

М одель второго порядка для S-компонентной смеси:

Чтобы воспользоваться формулами вычисления коэффициентов моделей следует оговорить расположение экспериментальных точек, значения показателя в которых подставляются в эти формулы.

В каждой узловой точке симплекса третьего порядка содержится по три части компонентов.

В первой точке смесь состоит из трех частей третьего компонента; в шестой точке к одной части первого компонента добавлено две части второго; в восьмой – к двум частям второго добавлена одна часть третьего, а десятая точка содержит по одной части всех трех компонентов.

Рисунок 1 – Барицентрическая система Рисунок 2 – {S, n}-решетка

координат Шеффе {S, n} = {3, 3}

Чтобы ставить эксперимент на решетке трехкомпонентного симплекса четвертого порядка, следует иметь в виду, что смеси во всех узловых точках в этом случае состоят уже из четырех частей. Так, например, в четвертой точке содержится три части первого и одна часть третьего компонента и т. д.

Выделение локальных областей

Допустим, что нам предстоит оптимизировать смесь для произ­водства силикатного кирпича, состоящую из нескольких компонен­тов – извести, песка и воды. Если за основу взять симплекс третьего порядка (рисунок 2), то становится самоочевидно, что проведение экс­перимента в первой, четвертой и седьмой точках решетки практичес­ки исключается, так как смеси, содержащие только индивидуальные компоненты, для достижения цели совершенно непригодны.

В этих случаях исследования нужно проводить в локальных облас­тях факторного пространства, т. е. внутри внешнего симплекса надо вы­делять внутренний. Естественно, что две системы координат внутренне­го и внешнего симплексов должны быть согласованы между собой. Для выделения внутренних локальных областей в факторном про­странстве должны быть заданы координаты вершин многоугольни­ков, причем точки могут располагаться как угодно, в любом месте. Их положение фиксируется с помощью матриц. Элементами каждой строки являются координаты одной точки (вершины) внутреннего симплекса в единицах внешнего симплекса.

Рисунок 3 – Иллюстрация правил выделения локальных областей внутри внешнего симплекса

При выделении локальной области (рисунок 3) следует придерживаться основных правил:

• точка (А) может располагаться в любом месте внешнего фак­торного треугольника;

• точка (В) должна быть вершинной точкой треугольника ABCи не может располагаться ниже точки (А);

• точка (С) должна располагаться правее точки (А);

• обегание вершин в треугольнике ABC должно осуществляться по часовой стрелке: (А) =>(В) =>(С);

• точка (D) в четырехкомпонентном симплексе должна занимать самое верхнее положение (координата Z₄ точки Dдолжна быть мак­симальна).

Для перевода координат относительных единиц внутреннего сим­плекса в натуральные единицы внешнего симплекса следует исполь­зовать следующие формулы:

а) для трехкомпонентного симплекса

для четырехкомпонентного симплекса