31 Статистические модели на основе пассивного эксперимента. Достоинства и недостатки пассивного эксперимента. Понятие о корреляционном и регрессионном анализе.

При составлении математических моделей объектов входящие параметры которых изменяются, но не поддаются управлению либо их изменение ограничено технологическим режимом используют пассивные эксперименты.

Исследователь занимая пассивную позицию собирает некоторый объем экспериментальных значений факторов X_i и соответствующего выходного параметра y_u, которые записывают в таблицу исходных статистических данных.Для получения статистических математических моделей в виде полиномов на основе исходных данных в эксперименте пользуются методами корреляционного и регрессионного анализа.

В процессе построения модели эти методы позволяют решить задачи:

1) выяснить, насколько удачно выбрана форма уравнения регрессии;

2) определить наличие связи между вых. параметром y и факторами X_i ,оценить количественно силу этой связи;

3) вычислить коэффициент регрессии для выбранного полинома;

4) проверить точность вычисления коэффициентов регрессии b₀,b_i,…b_n(оценить их значимость)

5) установить адекватность уравнения регрессии реальному процессу.

Корреляционный анализ

В основе анализа лежит предпосылка о том,что переменные величины y (выходной параметр) и X_i (факторы) являются случайными величинами и между ними может существовать связь особого рода,кот.наз. корреляционной.

Корреляционная связь – связь при которой с изменением одной величины изменяется распределение другой.

Рассмотрим наиболее простой случай корреляции двух факторов – парная корреляция, наглядное представление о такой связи дает корреляционное поле,при его построении данные изображены точками, координаты которых соответствуют значениям двух случайных величин.

Взаимосвязь факторов тем больше, чем теснее расположены точ­ки корреляционного поля около некоторой прямой или «плавной» кривой, представляющей собой аналитическую функцию, аппроксимирующую (приближенно описывающую) наблюдаемые данные, которая называется функцией регрессии. Если все точки корреляционного поля попадут на эту ли­нию, то теснота связи окажется наибольшей и связь факторов будет функциональной. На рисунке приведены корреляционные графики для двух вели­чин x и y.

Теснота корреляционной связи определяется коэффициентом корреляции r. Коэффициент корреляции r может принимать значения от –1 до +1. При r =±1 одна из величин х или у является линейной функцией второй.

а) – положительная корреляция; б) – сильная положительная корреляция;

в) – слабая отрицательная корреляция; г) – некоррелированные случайные величины

Рисунок – Поле корреляции случайной величины

При r =0 корреляционная связь отсутствует. При r ≠0 могут существовать иные формы зависимости между x и y, отличные от корреляции; но если обе величины имеют нормальный закон распределения, то отсутствие корреляции означает их независимость

Если r > 0, то между случайными величинами прямая связь, т. е. с увеличением одной случайной величины увеличивается значение другой, например, высокая положительная корреляция между содержанием в рудах цинка и галлия указывает, что при увеличении содержания цинка в руде будет повышаться содержание галлия. При r < 0 – с увеличением одной случайной величины уменьшается значение другой.

Регрессионный анализ

Предполагает связь случайной величины y и переменных X_i , применение метода регрессионного анализа правомерно при след.условиях:

1)результаты наблюдения y1,y2,yn представляют собой независимые нормально распределенные случайные величины.

2) факторы Х1,Х2,Хn измеряются с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении y и некоррел.друг с другом.

3) оценки дисперсий S1²,S2²…Sn² значений выходного параметра y получают при одинаковых условиях (в параллельных опытах) должны быть однородными.