19)Диффернцирование функции одной переменной. Инвариантность первого дифференциала.

20) Старшие производные. Формула Лейбница. Примеры.

Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"

Итак, у"=(у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'

21) Свойства функций, дифференцируемых на отрезке. Теорема Ферма. Теорема Ролля и ее геометрический смысл. Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл. Теорема Коши.

22) Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.

23) Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, Пеано.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме

Лагранжа:

Рассмотрим любую функцию f(x), которая имеетнепрерывные производные всех порядков до (n+1)-го

в некоторой окрестности точки x0. Мы можемформально составить многочленкоторый наз.многочленом Тейлора n-йстепени или n-ммногочленом Тейлора функции f по степеням х–x0.

Многочлен Qn(x) совпадает с функцией f(х) в точке x0но для всех х он не равен f(х) (если f(х) не являетсямногочленом степени n). Кроме того,Q'n(x0)=f'(x0),...,Q(n)n(x0)=f(n)(x0) {2}. Положим f(x)=Qn(x)+rn(x) {3}. Формула {3} носит название формулыТейлора для функции f(x); rn(х) наз. Остаточнымчленом формулы Тейлора, – подробнее, n-мостаточным членом формулы Тейлора функции f пoстепеням х–x0. Функция rn(х) показывает, какуюпогрешность мы допускаем при замене f(x) намногочлен Тейлора {1}.Найдем выражение для rn(х) через производную f(n+1)(х). В силу {2} и {3} rn(x0)=r'n(x0)=...=r(n)n(x0)=0.

Положим (х)=(х–x0)n+1. Ясно, что (x0)=(x0)=...=(n)

(x0)=0. Применяя теорему Коши к функциям rn(х) и

(x), будем иметь

Формула (3') наз. формулой Тейлора с остаточным

членом в форме Лагранжа.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

Т еорема №1:Если функция f имеет в окрестности точки x₀непрерывную производную fⁿ⁺¹(х), то для любо­го х из этой окрестности найдется точка с(х₀,х) такая, что f(x) можно записать по формуле

Здесь с зависит от х и n. Если точка х₀=0, то формулу (3') наз. формулой Маклорена. Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора. Большое значение имеет форма Коши

где (0<<1) зависит от n и х. Уменьшая окрестность точки, получим, что произ­водная f^(n+l)(x) есть непрерывная функция от х на замк­нутом отрезке [x₀–,x₀+]. Но тогда она ограничена на этом отрезке:

| f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|M_n (x₀–xx₀+) {2}. Здесь M_n–положительное число, не зависящее от указанных х, но, вообще говоря, завися­щее от n. Тогда

Н еравенство {3} можно использовать в двух целях: для того чтобы исследовать поведение r_n(х) при фиксиро­ванном n в окрестности точки и для того, чтобы иссле­довать поведение r_n(х) при n. Из {3}, например, следует, что при фиксированном n имеет место свойство r_n(x)=o((x–x₀)ⁿ), xx₀ {4}, показывающее, что если r_n(х) разделить на (х–x₀)ⁿ, то полученное частное будет продолжать стремиться к нулю при xx₀. В силу (13) из (8') следует:

Эта формула наз. формулой Тейлора с оста­точным членом в смысле Пеано. Она приспособлена для изучения функции f в окрестности точки x₀.