12) Предел функции в бесконечности и предел функции, равный бесконечности. Предел функции в бесконечности

Пусть функция f(x) определена на (a, + ∞).

Число A называется пределом функции f(x) при x → + ∞ (обозначается A = 

lim

x → + ∞

 f(x) ), если

 ε > 0     N:     x > N      |f(x) − a| < ε.

Пусть функция f(x) определена на ( − ∞,a).

Число A называется пределом функции f(x) при x → − ∞ (обозначается A = 

lim

x → − ∞

 f(x) }, если

 ε > 0     N:     x < − N      |f(x) − a| < ε.

Если существуют пределы функции f(x) при x → + ∞ и при x → − ∞ и они равны одному и тому же числу A, то это число A называется пределом функции f(x) при x → ∞ {обозначается A = 

lim

x → ∞

 f(x) .

Теоремы о пределах последовательностей и правила их вычисления распространяются и на пределы функций в бесконечности.

Наклонные асимптоты графика функции

Пусть функция f(x) определена на (a, + ∞). Обозначим символом α разность ординат точек графика функции f(x ) и прямой y = kx + b при одном и том же значении x (рис. 1), т.е. α(x) = f(x) − (kx + b).

Если 

lim

x → + ∞

 α(x) = 0, то прямая y = kx + b называется (правой) асимптотой графика функции y = f(x) при x → + ∞ .

Теорема 1. Прямая y = kx + b является (правой) асимптотой графика y = f(x) при x → + ∞ тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы, определяющие параметры асимптоты:

k =  lim x → + ∞    f(x) x ,      b =  lim x → + ∞  [f(x) − kx].

(1)

Если хотя бы один из этих пределов не существует или бесконечен, то график y = f(x) не имеет правой асимптоты.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 36.

Если 

lim

x → − ∞

 α(x) = 0, то прямая y = kx + b называется (левой) асимптотой графика функции y = f(x) при x → − ∞.

Если 

lim

x → ∞

 α(x) = 0, то прямая y = kx + b называется (двусторонней) асимптотой графика функции y = f(x) при x → ∞.

Существование левой и двусторонней асимптот графика функции y = f(x) определяется аналогично теореме 1, т.е. существованием пределов типа (1) при x → − ∞ и x → ∞ соответственно.

При k ≠ 0 асимптоты называются наклонными, при k = 0 — горизонтальными.

Предел функции, равный бесконечности - ???

13) Бесконечно малые и бесконечно большие функции, из связь. Свойства бесконечно малых(конечная сумма, произведение б.М. На ограниченную функцию). Сравнение бм и ббфунций.

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ

И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство  , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ, так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x .

Примеры.

1. Ясно, что при x→+∞ функция y=x²+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция  – бесконечно малая при x→+∞, т.е.  .

2. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

1. .

2. .

3. , так как функции  и  - бесконечно малые при x→+∞, то  , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же  является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x), где  и  . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε>0 найдетсяδ>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ, выполняется |f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ₁>0, что при |x – a|<δ₁ имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ₂>0, что при |x – a|<δ₂ имеем | β(x)|< ε/2.

Возьмем δ=min{ δ₁, δ₂}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,

т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если  и  , то  .

Следствие 2. Если  и c=const, то  .

14) Эквивалентность б.м.. Основные эквивалентности, связанные с первым и вторым замечательными пределами. Теорема о замене на эквивалентные функции в пределе отношения двух б.м.\б.б. функций.

Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Если    то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (при х→x₀); это обозначается так: α~ß.

Например, sinx~х при х→0, т.к    при x→0, т. к. 

Теорема 18.1 . Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Теорема 18.2 . Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. α и ß есть бесконечно малая высшего порядка, чем α или ß, то α и ß — эквивалентные бесконечно малые.

Действительно, так как

  т. е.    Отсюда     т. е. α~ß. Аналогично,   если  то α~ß.

Теорема 18.3 . Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Докажем теорему для двух функций. Пусть α→0, ß→0 при х→х_о, причем α — б.м.ф. высшего порядка, чем ß, т. е.   . Тогда

Следовательно, α+ß~ß при х→х₀.

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.

Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

<< Пример 18.5

α(x)→0

1	sinα(x)~α(x)
2	arcsinα(x)~α(x)
3	tgα(x)~α(x)
4	arctgα(x)~α(x)
5	loga(1+α(x))~(logae)α(x)
6	ln(1+α(x))~α(x)
7	aα(x)-1~α(x)lna,a>0,a≠1
8	eα(x)-1~α(x)
9	(1+α(x))μ-1~μα(x)
10	1+α(x)n-1~α(x)n
11	1+α(x)-1~α(x)2
12	1-cosα(x)~12α2(x)

15) Дифференцируемые функции. Производная, дифференциал, их геометроический и механический смысл. Необходимое и достаточное условие существования производной для функции одной переменной. Нахождение производной суммы, произведения и частного двух функций. Вывод формул производной для основных элементарных функций.

Согласно общему определению функция

одной переменной является дифференцируемой в точке x₀ своей области определения M, если существуют такие константы a и b, что для любой точки x области M верно

f(x) = a + b(x − x₀) + o(x − x₀);

при этом число a неизбежно равно значению функции в точке x₀, а число b -- пределу

,

который, следовательно, существует и его, как известно, называют производной функции в точке x₀, то есть

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀) + o(x − x₀).

Более того, функция одной переменной является дифференцируемой в точке x₀ тогда и только тогда, она имеет производную в этой точке.

График функции y = f(x) представляет собой кривую на плоскости Oxy, а график линейной функции

y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀)

доставляет касательную прямую к этой кривой, проведённую в точке x₀.

Напр., функция f(x) = x² определена и дифференцируема в любой вещественной точке, поскольку её можно представить в виде

f(x) = f(x₀) + 2x₀(x − x₀) + (x − x₀)².

При этом её производная есть f'(x₀) = 2x₀, а уравнение касательной прямой, проведённой в точке x₀, имеет вид:  .

Элементарные функции могут быть непрерывны в некоторой точке, но не быть в ней дифференцируемы. Напр., функция f(x) = | x | является непрерывной на всей вещественной оси, но её производная испытывает скачок при переходе через точку x = 0, в котором эта функция не является дифференцируемой. В этой точке нельзя провести и касательную к графику функции. Функция   тоже непрерывна на всей вещественной оси и её график имеет касательные во всех точках, однако касательная, проведённая в точке x = 0, является вертикальной прямой и поэтому производная функции   бесконечно велика в точке x = 0, а сама функция не дифференцируема в этой точке.

Графики элементарных функций учат, что произвольная функция дифференцируема всюду, за исключением исключительных и изолированных значений аргумента. Первая попытка аналитического доказательства этого утверждения принадлежит Амперу^[1], и поэтому оно носит название гипотезы Ампера. Это утверждение, однако, не верно в классе аналитически представимых функций, напр., функция Дирихле не является даже непрерывной ни в одной точке^[2]. Нельзя также считать и произвольную непрерывную функцию дифференцируемой, напр., функция Вейерштрассаопределена и непрерывная на всей вещественной оси, но не является дифференцируемой ни в одной её точке^[3]. Это в частности означает, что к её графику ни в одной точке нельзя провести касательную прямую. Тем не менее, гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку следующей теоремы Лебега: любая монотонная функция f(x) имеет определённую конечную производную всюду, кроме, быть может, некоторого множества значений x меры нуль.^[4]