Непрерывные функции. Непрерывность простейших элементарных функций. Класс элементарных функций, непрерывность его элементов.
Непрерывность элементарных функций.
1)Непрерывность функции ax, a>0.
Справедливо
равенство 
.
a)
Если a>1, обозначим 
,
a=(n+1)n
>nn, n<a/n
, следовательно n
– б.м..
Замечание.
Отметим, что точно также можно доказать
равенство 
.
Именно, 
,
n=(n+1)n
> 
, n<
,
следовательно n
– б.м..
b) Если a <1,
то 
,
b > 1.
Докажем,
что 
(непрерывность
в 0 функции ax ).
1 a> 1
Пусть
{xk} последовательность типа Гейне для
0+0, то есть xk0,
xk>0. Можно считать, что xk< 1. Для
последовательности целых частей
дроби 
будут
выполнены неравенства 
.
Откуда, в частности, следует, что
nk+ и 
далее,
переходя к пределу при k ,
получим требуемое равенство.
Аналогично рассматривается случай x 0 - 0. Из существования и равенства односторонних пределов следует доказываемое утверждение .
2 Если a<1, тоbx=1/ax, b=1/a > 1.
2)
Функция ax непрерывна в точке x0 . Это
следует из равенства 
.
3). Функция y=logax непрерывна, как обратная к непрерывной строго монотонной функции x=a y .
4). Степенная функция y=x. Докажем непрерывность при x>0. Имеем x=e ln x, далее теорема о непрерывности суперпозиции.
Класс элементарных функций
Простейшими элементарными функциями обычно называют линейную (y=kx+b), квадратичную (y=ax2+bx+c), степенную (y=xn, где n целое число, не равно 1), показательную (y=ax,где a больше 0 и не равно 1), логарифмическую (y=loga x, где a больше 0 и не равно 1), тригонометрические (y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x), обратные тригонометрические (y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x).
К элементарным функциям относятся основные элементарные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и суперпозиций.
Выделим классы функций, которые получены из элементарных:
Целая рациональная функция (или многочлен): y=a0xn+a1xn-1+...+an, где n - целое неотрицательное число (степень многочлена), a0, a1, ..., an - постоянные числа (коэффициенты).
Дробно-рациональная функция, которая является отношением двух целых рациональных функций.
Целые рациональные и дробно-рациональные образуют класс рациональных функций.
Иррациональная функция - это та, которая строится с помощью суперпозиции рациональной функции и степенных функций с рациональными показателями.
11) Точки разрыва функций и их классификация.
|
||||||||||||||||||||||||
и
правосторонний предел 
;
называется скачком
функции.
на
непрерывность.
имеет
устранимый разрыв в точке x
= 0.
,
то в данной точке существует
устранимый разрыв. Мы можем
сконструировать новую функцию