16. Односторонние пределы. Пределы на бесконечности.

(Гейне): Функция f имеет в точке x₀ предел слева (справа), если существует такое число , что для произвольной последовательности (x_n) значений x, a < x_n < x₀ (x₀ < x_n < b), сходящейся к точке x₀ при n → ∞, соответствующая последовательность (f(x_n)) значений функции f сходится к точке A.

(Коши): Функция f имеет в точке x₀ предел слева (справа), если

Число A называем пределом слева (справа) функции f в точке x₀ и обозначаем

f(x₀ - 0)   (f(x₀ + 0))   или    .

Функция f имеет предел в точке x₀ тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равные между собой пределы слева и справа.

Предел функции на бесконечности в математическом анализе описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим по модулю.

Пусть задана функция у = f(x) с неограниченной сверху областью определения. Число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x > M, выполняется неравенство |f(x) – b| < e. Запись этого факта:

Если область определения данной функции неограниченна снизу, то число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к минус бесконечности, если для любого числа e < 0 существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x < –M, выполняется неравенство |f(x) – b| < e. Записывается это так:

17. Критерий Коши существования предела функции.

Условие Коши. Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа e найдется положительное d(e), что для любых x₁,x₂, удовлетворяющих условию

0<|x1-a|<d, 0<|x2-a|<d,

справедливо неравенство

|f(x1-f(x2)|<e.

Критерий Коши. Для того, чтобы существовал предел функции f(x) в точке a

(lim_{x ->a}f(x) = A ) необходимо и достаточно, чтобы f(x) удовлетворяла в точке a условию Коши.

Доказательство

Необходимость . Пусть  и . Это означает, что для любого  > 0 существует такое  > 0, что для всех точек  справедливо неравенство

  .

Достаточность .

1. Теорема об эквивалентности двух определений предела: (Определение предела по Гейне-Борелю).

2. Применяем критерий Коши для последовательности.

3. Докажем, что этот предел не зависит от выбора последовательности . Для этого рассмотрим другую извлеченную последовательность , тоже сходящуюся к a. Соответствующая ей последовательность сходится к пределу B. Для доказательства, что A=B, допустим противное. Рассмотрим последовательность: , сходящуюся к a. Последовательность значений функции

не имеет предела, т.к. ее четные и нечетные члены сходятся к разным пределам A и B соответственно. Таким образом, получилось противоречие.

18. Замечательные пределы.

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где S_sectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1

Второй замечательный предел

.

Доказательство

Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство n < x < n + 1. В том случае имеем n → ∞ ⇒ x → ∞. По свойству для неравенств имеем

.

Прибавим ко всем частям неравенств единицу

.

По свойству степеней имеем

Так как

и

,

то по теореме о пределе промежуточной функции имеем также и

,

что и требовалось доказать. Для отрицательного х доказательство аналогично.

19. Существование предела монотонной функции.

Функция называется

- монотонно возрастающей, если из

-строго монотонно возрастающей, если из

- монотонно убывающей, если из

-строго монотонно убывающей, если из .

Если же для любых точек x1ÎX и x2ÎX, x1 < x2, выполняется неравенство f(x1)£f(x2) (соответственно неравенство f(x1) ³ f(x2)), то функцию называют неубывающей (невозрастающей). Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастающей (убывающей) – но в широком смысле.

Возрастающие и убывающие на множестве X функции называются монотонными на этом множестве.

Теорема. Пусть функция  – неубывающая на (a, b), где, в частности, может быть . Если она ограничена сверху числом M, то существует конечный предел . Если же она не ограничена сверху, то .

Аналогично, если функция f ограничена снизу, то в точке a у неё существует конечный предел справа, а если f не ограничена снизу, то .

Подобные утверждения справедливы и для убывающих функций; их можно получить, перейдя от функции f к функции –f.

Доказательство. Из ограниченности f следует существование конечной точной верхней грани . Таким образом, , и для всякого e > 0 существует  такое, что . Но в силу того, что f не убывает, . Таким образом, для любого e>0 можно указать  такое, что  для всех x, удовлетворяющих неравенствам . Это и значит, что .

Пусть теперь неубывающая функция f не ограничена сверху. Тогда для любого M существует  такое, что M < f(x1), и вследствие того, что f не убывает на X,

  ,

а это и говорит о том, что .

20. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение асимптотического поведения функций. «О-о» символика.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

П римеры.

1. Функция f(x)=(x-1)² является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.).

2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.

3. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.

4. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.

Если для любой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции бесконечно большая, то функция называется бесконечно большой в точке .

«O» большое и «o» малое (O и o) — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций.

Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x₀, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что:

• f является «O» большим от g при , если существует такая константа C > 0, что для всех x из некоторой окрестности точки x₀ имеет место неравенство

;

• f является «о» малым от g при , если для любого ε > 0 найдется такая проколотая окрестность точки x₀, что для всех имеет место неравенство

Иначе говоря, в первом случае отношение | f | / | g | в окрестности точки x₀ ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при .

21. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация.

Определение 1:

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если .

Определение 2:

f(x) называется непрерывной в точке а, если   > 0   > 0: | f(x) - f(а) | <  при | х - а | < .

f(x) = f(а)

Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точкеx₀, если выполнены 3 условия:

1. она определена в точке x₀ и в некоторой её окрестности;

2. имеет предел при x → x₀;

3. этот предел равен значению функции в точке x₀.

Предельные точки области определения функции, в которых эта функция не является непрерывной, называются точками её разрыва.

Классификация точек разрыва:

1) - устранимая т.р. и они конечны, но .

Например (рис. 8.2); другая функция непрерывна в т. .

Рис. 8.2

2) - т.р. 1-го рода: - конечны, но .

К примеру, (рис. 8.3).

3) - т.р. 2-го рода: все остальные т.р., например, точки бесконечного разрыва. В частности, (рис. 8.4).

22. Непрерывность сложной функции. Арифметические свойства непрерывных функций.

Пусть аргумент t функции y = f(t) является функцией аргумента x: t = (x). В этом случае говорят, что переменная у является сложной функцией от аргумента х или у является суперпозицией функций f и .

y = f( (x)).

Пример:

y = sin( ) - сложная функция.

y = sin t, где t = .

Если f(x) и g(x) непрерывны в точке а, то f(x)  g(x), f(x)g(x) и (при условии g(а)  0) непрерывны в точке а.

Доказательство:

По условию f(x) = f(а), g(x) = g(а)  [ f(x) + g(x)] = f(a) + g(а). а это и означает непрерывность суммы функций в точке а. Точно также доказывается непрерывность разности, произведения, частного.

Теорема доказана.

23. Теорема Вейерштрасса.

Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть . Тогда ограничена на .

Доказательство:

Докажем, что .

Предположим противное, то есть . Возьмем =1,2,3…

Получим :

1)

2)

Из этих определений получаем .

=> -подпоследовательность последовательности :

.

-непрерывна в точке => .

-подпоследовательность последовательности : => . Противоречие.

Вторая теорема Вейерштрасса.

Пусть . Тогда

Замечание: Непрерывная на отрезке функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, причем в условиях теоремы отрезок по существу.

Доказательство:

По условию теоремы => ограничена на => Докажем, что . Предположим противное, то есть . Рассмотрим вспомогательную функцию на . По 1 теореме Вейерштрасса ограничена на , то есть (< )- верхняя граница. , то есть . Противоречие.

24. Теорема Больцано-Коши.

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что f(a) = A < B = f(b). Тогда для любого существует такое, что f(c) = C.

Доказательство

Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезке и , Покажем, что существует такая точка , что Разделим отрезок точкой на два равных по длине отрезка, тогда либо и нужная точка найдена, либо и тогда на концах одного из полученных промежутков функция принимает значения разных знаков(на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке , либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что

Пусть - общая точка всех отрезков , Тогда c = lim a_n = lim b_n, и в силу непрерывности функции

g(c) = lim g(a_n) = lim g(b_n).

Поскольку

получим, что

25. Критерий непрерывности монотонной функции.

Для того, чтобы монотонная функция f(x) определенная на [a,b] была непрерывна на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)] либо [f(b), f(a)]).

Доказательство.

Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке функции существуют: для x₀(a,b], и для x₀[a,b).

Доказательство леммы. Положим для некоторого x₀(a,b], A= , тогда для x[a,x₀) :f(x)A и для >0 x[a,x₀):A- <f(x).

Рис. 3.11

Так как функция монотонно возрастает, то x(x,x₀):A- < f(x)  f(x)A. Таким образом, равенство доказано.

Аналогично для предела справа . Для монотонно убывающей функции справедливо аналогичное утверждение.

Следствие 1. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция имеет конечные односторонние пределы.

Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция может иметь там лишь разрывы первого рода.

Доказательство критерия. Функцию будем предполагать монотонно возрастающей. Необходимость уже была доказана ранее (пункт 4, следствие 2).

Достаточность. Предположим противное. В точке x₀ имеется разрыв. Этот разрыв обязан быть разрывом первого рода и, следовательно, должно нарушаться одно из двух соотношений:

, .

Пусть, например, . Так как функция возрастает, то это означает, что .По лемме .

Имеем при x  x₀, f(x₀) < f(x₀+0)  f(x) при . Таким образом, значения между f(x₀), f(x₀+0) не достигаются, что противоречит условию теоремы.

Рис. 3.12

Аналогично проводится доказательство в случае существования разрыва слева.

Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство проводится заменой f на –f.

26. Теорема об обратной функции.

Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная в области значений f, также является возрастающей (соответственно убывающей). Доказательство. Положим для определенности, что функция f возрастающая. Обратимость функции f — очевидное следствие теоремы о корне . Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве E(f). Пусть x₁ и x₂ — произвольные значения из Е (f), такие, что x₂> x₁. и пусть y₁=g(x₁), y₂=g(x₂). По определению обратной функции x₁=f(y₁) и x₂=f(y₂). Воспользовавшись тем условием, что f — возрастающая функция, находим, что допущение y₁ ≥ y₂ приводит к выводу f (y₁)≥f(y₂), т. е. x₁≥ x₂. Это противоречит предположению x₂> x₁. Поэтому y₂> y₁ , т. е. из условия x₂> x₁ следует, что g (x₂)>g (x₁). Именно это и требовалось доказать.

27. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

28. Непрерывность основных элементарных функций.

Непрерывность элементарных функций

Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке своей области определения. Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций (с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя:

1. Алгебраические многочлены

;

2. Рациональные дроби

;

3. Степенные функции ;

4. Показательные функции ;

5. Логарифмические функции

;

6. Тригонометрические функции

;

7. Обратные тригонометрические функции ;

8. Гиперболические функции

;

9. Обратные гиперболические функции

29. Производная функции. Связь между производной и непрерывностью.

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U(x₀) можно представить в виде

f(x₀ + h) = f(x₀) + Ah + o(h)

если существует.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x₀ называется предел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x₀

30. Дифференциал. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости.

Дифференциа́л — линейная часть приращения функции.

Для функций

Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция

где f'(x₀) обозначает производную f в точке x₀.

Таким образом df есть функция двух аргументов .

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от h и для которой верно следующее соотношение

Теорема: Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.

При этом

Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = f '(x0)Δx+α(Δx)Δx,

где α(Δx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.

Доказательство Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx). Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A. Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R . Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана.

 

31. Инвариантность формы первого дифференциала.

Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть y = f ( u ( x )) является сложной функцией аргумента x. По определению дифференциала функции имеем

df = f '(x)·u '(x)·dx.

Так как, в свою очередь, du = u '(x)· dx, то из последнего соотношения получим

df = f '(u)·du.

Что совпадает с соотношением dy = f '(x)·dx.    Форма дифференциала первого порядка сохраняется вне зависимости от того, является ли аргумент независимым или является в свою очередь функцией другого аргумента.

32. Правила дифференцирования.

При дифференцировании константу можно выносить за производную: Правило дифференцирования суммы функций: Правило дифференцирования разности функций: Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница): Правило дифференцирования частного функций: Правило дифференцирования функции в степени другой функции: Правило дифференцирования сложной функции: Правило логарифма при дифференцировании функции:

33. Производная сложной функции.

Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x₀ производную и принимает в этой точке значение u₀ = u(x₀), а функция y= f(u) имеет в точке u₀ производную y '_u= f '(u₀), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x₀ тоже имеет производную, которая равна y '_x= f '(u₀)·u '(x₀), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство. При фиксированном значении х₀ будем иметь u₀=u(x₀), у₀=f(u₀). Для нового значения аргумента x₀+Δx:

Δu= u(x₀ + Δx) – u(x₀), Δy=f(u₀+Δu) – f(u₀).

Т.к. u – дифференцируема в точке x₀, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)

,

где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.

Перепишем это равенство в виде:

Δy= y '_uΔu+α·Δu.

Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

.

По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y '_x= y '_u·u '_x . Теорема доказана.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y '_x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y '_x= y '_u·u '_x . Применяя эту же теорему для u '_x получаем , т.е.

y '_x = y '_x· u '_v· v '_x = f '_u (u)·u '_v (v)·v '_x (x).

34. Производная обратной функции.

Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у₀ имеет производную g '(v₀), отличную от нуля, то в соответствующей точке x₀=g(x₀) функция y=f(x) имеет производную f '(x₀), равную , т.е. справедлива формула .

Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y₀, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x₀=g(y₀). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.

Покажем, что .

Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. .

Следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Эту формулу можно записать в виде .

35. Геометрический смысл производной и дифференциала.