3.5 Двух- и трехмерные точечные источники

Одномерный точечный источник физически представляет собой плоскость, в которой первоначально сконцентрирована вся примесь. Двумерным источником является линия, вдоль которой равномерно распределена примесь. Трехмерный источник – это точка, содержащая примесь. Решения для всех этих трех случаев можно записать в виде общей формулы

(3.32)

Здесь r есть расстояние от источника диффузанта, m=1/2, 1 и 3/2, соответственно, для одно-, двух- и трехмерного источников. Следует также обратить внимание на то, что в этих случаях Q имеет разные размерности: для одномерного источника – см^-2 (атомов примеси на единичную площадку плоскости), для двумерного – см^-1 (на единичную длину прямой, вдоль которой распределена примесь), для трехмерного источника Q величина безразмерная, – это количество примеси, сконцентрированной в данной точке трехмерного пространства.

3.6 Формула Пуассона

Принцип суперпозиции позволяет сразу записать решение для случая, когда примесь первоначально была распределена по пространству по произвольному закону. Эта, хорошо известная из курса математики, формула (формула Пуассона) для трехмерного пространства имеет вид: (3.33)

Все интегралы в общем случае вычисляются по всему пространству, т.е. от - до + .

Функция F( представляет собой первоначальное распределение примеси по пространству. Фигурирующие в ней аргументы пробегают тот же интервал значений, что и реальные переменные x,y и z. Если F( допустимо представить в виде произведения функций ее аргументов, то тройной интеграл представим в виде произведения трех интегралов вида:

(3.34)

Исходя из формулы Пуассона, можно получить все приводившиеся выше формулы для случая D=const.

1 erf (от error function) - функция ошибок определяется следующим образом:

. Ее производная имеет вид . и .

Дополнительной функцией ошибок (error function complementary) называют функцию . Ее производная отличается только знаком.