3.2. Уравнение диффузии

Изучение процессов диффузии велось также в направлении создания на основе экспериментальных результатов более точных моделей, которые давали бы возможность предсказывать протекание процесса диффузии путем теоретического анализа. Конечная цель исследования процесса диффузии – возможность расчетным путем определять электрические характеристики полупроводниковых приборов на основе технологических параметров процесса. Диффузионные модели развивались с позиции двух основных приближений: 1) теории сплошных сред с использованием уравнения диффузии Фика и 2) атомистической теории, которая принимает во внимание взаимодействие между точечными дефектами (вакансиями и межузельными атомами), с одной стороны, и примесными атомами – с другой. Теория сплошных сред описывает явление диффузии исходя из диффузионного уравнения Фика с учетом соответствующих коэффициентов диффузии. Коэффициенты диффузии легирующих элементов могут быть определены путем экспериментальных измерений поверхностной концентрации, глубины р–п-перехода или профиля концентрации и из решения уравнения диффузии Фика.

При низких значениях концентрации примеси измеренные диффузионные профили хорошо согласуются с решениями уравнения диффузии Фика с постоянными значениями коэффициентов диффузии. При высоких значениях концентрации примеси форма диффузионных профилей отклоняется от предсказанной простой диффузионной теорией, что обусловлено влиянием на процесс диффузии примесей других факторов.

В 1855 Фик предложил теорию диффузии. В основу этой Теории положена аналогия между процессами переноса в жидких растворах и тепла за счет теплопроводности. Фик предложил следующие уравнение, получившее название I закона Фика:

, (3.1)

Для одномерного случая:

, (3.2)

Здесь: j – поток атомов диффундирующего вещества через единичную площадку (например, через см²) за единицу времени (с), N – количество таких атомов в единице объема, t (с)– время диффузии, а D –коэффициент пропорциональности, связывающий j и grad N, имеющий размерность см²/с, D (см²/с) называют коэффициентом диффузии. Знак (-) отражает тот факт, что поток атомов идет в направлении уменьшения их концентрации. Диффузия идет всегда, но направленный поток имеет место только в случае неоднородного по пространству распределения диффундирующих частиц и исчезает, когда система становится однородной.

Выполнив дифференцирование по координате, в одномерном варианте получим:

(3.3)

Легко устанавливается факт, что

(3.4)

поскольку изменение потока по координате обусловлено изменением числа частиц в единичном объеме. Из комбинации этих выражений следует основная форма уравнения диффузии, называемая II законом Фика:

(3.5)

Здесь уже отражена зависимость N и от координаты, и от времени, поэтому используются частные производные. Важно отметить, что в общем случае D входит под знак производной, т.е. такая запись учитывает возможность зависимости D от всех трех переменных (N, t, x).

Если коэффициент D можно считать постоянным, то уравнение диффузии примет вид

(3.6)

Однако лишь в некоторых случаях D можно считать величиной постоянной, в общем случае он зависит от большого числа других факторов.