Количество примеси, введенной из источника неограниченной мощности

Как уже отмечалось ранее, источник неограниченной мощности чаще всего используется на стадии “загонки” примеси. Для вычисления количества примеси в этом случае достаточно проинтегрировать (3.24) по всему пространству . Формальное вычисление этого интеграла оказывается достаточно длительным. Проще сначала вычислить зависящую от времени величину потока примеси через поверхность , и затем проинтегрировать по всему времени “загонки”.

Исходя из (3.4) и (3.5):

;

(3.25)

Соответственно,

(3.26)

После интегрирования абсолютной величины потока примеси по t получим:

(3.27)

3.3.2. Диффузия из слоя конечной толщины

Много важных для практики решений уравнения диффузии могут быть получены с использованием принципа суперпозиции решений линейного уравнения диффузии с линейными же начальными условиями.

Допустим, в толще бесконечно толстой пластины расположен однородно легированный слой толщиной 2h с концентрацией примеси N_o (рис.3.4).

Примем, что x=0 находится в середине этого слоя. Такой профиль распределения примеси может быть представлен в виде суперпозиции двух профилей, для одного из которых для всех , и не содержащем примеси во всей остальной области. Для второго профиля условие выполняется в области , а остальная область также не легирована. Обе области, таким образом, относятся к уже рассмотренному случаю диффузии примеси из одной полуограниченной области в другую.

Решения для них записываются в виде:

и (3.28)

Рис. 3.4

Исходный профиль по принципу суперпозиции получается как разность N₁–N₂, т.е.

(3.28)

Заметим, что

3.3.3. Диффузия из бесконечно тонкого слоя (точечный источник)

От (3.28) легко перейти к случаю диффузии из бесконечно тонкого слоя (из точечного источника). Запишем erfc-функции в виде определяющих их интегралов:

(3.29)

При интеграл стремится к и если принять, что , а выражение для N(x,t) примет вид:

.(3.29)

совпадающий с (3.10б) – Гауссово распределение примеси (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Понятие тонкого и толстого слоя.

Если h>4L – слой толстый, если h<L/4 – слой тонкий, вычисления по (3.27) будут численно совпадать с получаемыми по формуле (3.29). Это будет случай тонкого слоя.

3.4. Отражающая и поглощающая границы

Отражающая граница – это граница, поток примеси через которую равен нулю (SiO₂). В этом случае примесь диффундирует только в одну сторону и поэтому количество примеси в каждой точке должно быть в 2 раза большим, т.е. решение должно записывать в форме:

. (3.30)

Это решение описывает случай, когда примесь диффундирует в полупространство из находящегося на его поверхности однородно легированного слоя толщиной h.

Связывающая граница. Концентрация примеси на такой границе поддерживается равной нулю (например, за счет бесконечно быстрого испарения примеси с поверхности). Если первоначально примесь была однородно распределена по полупространству, то непосредственно на поверхности она станет мгновенно равной нулю и далее вблизи от связывающей границы со временем начнет уменьшаться (рис.3.6).

Рис. 3.6. Распределение примеси при диффузии вблизи от связывающей границы

Решение имеет вид:

(3.31)

Следует отметить, что реально не существует идеально связывающих границ, так как, например, испарение примеси с поверхности идет приблизительно со скоростью, пропорциональной концентрации примеси в бесконечно тонком приповерхностном слое.