Законы Ньютона и Лагранжева механика

Законы Ньютона — не самый глубокий уровень формулирования классической механики. В рамках Лагранжевой механики имеется одна-единственная формула (запись механического действия) и один-единственный постулат (тела движутся так, чтобы действие было стационарным), и из этого можно вывести все законы Ньютона. Более того, в рамках Лагранжева формализма можно легко рассмотреть гипотетические ситуации, в которых действие имеет какой-либо другой вид. При этом уравнения движения станут уже непохожими на законы Ньютона, но сама классическая механика будет по-прежнему применима.

Решение уравнений движения

Уравнение является дифференциальным уравнением: ускорение есть вторая производная от координаты по времени. Это значит, что эволюцию механической системы во времени можно однозначно определить, если задать её начальные координаты и начальные скорости.

Заметим, что если бы уравнения, описывающие наш мир, были бы уравнениями первого порядка, то из нашего мира исчезли бы такие явления, как инерция, колебания, волны.

5 Принцип независимости действия сил

Если на материальную точку действуют несколько сил, то

(3.3)

где - ускорение материальной точки, вызываемое действием на нее одной силы . Таким образом, если на материальную точку одновременно действуют несколько сил, то каждая из них сообщает м.т. такое же ускорение, как если бы других сил не было. Это утверждение называется принципом независимости действия сил.

6 5. Система материальных точек. Силы внешние и внутренние. Импульс системы материальных точек. Закон сохранения импульса.

Рассмотрим простейшую замкнутую (Замкнутой называют такую систему тел, на которую не действуют внешние тела (силы), и тела которой взаимодействуют лишь между собой, посредством сил, называемых внутренними.) систему из двух материальных точек. Исходя из смысла силы как быстроты изменения импульса, третий закон Ньютона можно записать в виде:

 dР₁/dt  = - dР₂/dt   Þ   dР₁ = - dР₂    Þ    d(Р₁ + Р₂) = 0       Þ    Р₁ + Р₂ = const

Полученное равенство выражает собой закон сохранения импульса (ЗСИ) замкнутой системы из двух материальных точек, т. е. точек, взаимодействующих лишь между собой. Общий (суммарный, результирующий) импульс двух тел остается при их движении постоянным, и может при их движении лишь перераспределяться между ними.

Движение может лишь передаваться от одних тел к другим, так что общее его количество в замкнутой системе тел остается неизменным, то есть сохраняется. Полученный выше для двух точек закон сохранения импульса легко обобщается на замк­нутую систему из произвольного числа N материальных точек, и его можно сформулировать так: при любом движении замкнутой системы материальных точек полный её импульс остаётся неизменным: SР_i  = const; внутри системы воз­можны лишь перераспределения импульса между отдельными точками.

Рассмотрим систему из n материальных точек. Запишем второй закон Ньютона для i - ой точки: dР_i/dt = F_i. Результирующую силу F_i, действующую на i - ую точку системы представим в виде суммы внешних и внутренних сил: F_i = F_{i внеш} + SF_ik , где F_ik – внутренняя сила, дейст­вующая на i - ую точку системы со стороны ее k – ой точки. Полученное равенство dР_i/dt = F_{i внеш} + SF_ik, выражающее второй закон Ньютона для i - ой точки системы, просуммируем по всем ее n точкам: SdР_i/dt = SF_{i внеш} + SSF_ik. По третьему закону Ньютона силы воздействия i - ой и k – ой точек друг на друга равны по величине и противоположны по направлению, то есть F_ik = - F_ki. Поэтому при суммировании внутренних сил по всем точкам системы они взаимно скомпенсируют друга, так что SSF_ik = 0. Тогда второй закон Ньютона для системы материальных точек запишется в виде: SdР_i/dt = d/dtSР_i = dР_S/dt = SF_{i внеш} = F_{S внеш}. Или окончательно dР_S/dt = F_{S внеш}

Если система замкнута, то есть результирующая действующих на нее внешних сил равная нулю: F_{S внеш} = 0, то dР_S/dt = 0, откуда следует Р_S = SР_i = const – закон сохранения импульса замкнутой системы материальных точек.

Сохране­ние импульса - величины векторной - означает сохранение и любой его состав­ляющей, проекции на любую ось, любое направление в пространстве. В конкретных задачах динамики векторный закон сохранения импульса за­писывают в скалярной форме, проецируя его на соответствующие направления.

Закон сохранения импульса является эффективным средством, методом реше­ния основ­ной задачи механики (ОЗМ), т. к. он выражает собой взаимосвязь мер (коли­честв) движения взаимодействующих тел. Особенно плодотворным его применение оказывается для кратковре­менных взаимодействий типа удара, взрыва-разрыва, выброса тел, где труд­но задать характер сил, то есть использовать под­ход к решению ОЗМ с непосредственным использованием законов Ньютона. Зная, например, импульсы Р₁  и Р₂  двух тел до удара и импульс Р_i^¢  одного из тел после удара, можно, пользуясь законом сохранения импульса, рассчитать импульс другого тела после удара.

7 Момент импульса

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно - если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.