Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) — это величина

,

где:

•  — масса малого элемента объёма тела dV,

•  — плотность,

•  — расстояние от элемента dV до точки O.

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .

13 Теорема Штейнера

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_C относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

где

J_C — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

J — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

m — масса тела,

d — расстояние между указанными осями.

Вывод

Момент инерции, по определению:

Радиус-вектор можно расписать как разность двух векторов:

,

где — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

Вынося за сумму , получим:

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

Тогда:

Откуда и следует искомая формула:

,

где J_C — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Пример

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью C) равен

Тогда согласно теореме Штейнера его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен

где d — расстояние между искомой осью и осью C. В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней формуле d = L / 2:

14

Работа силы (фиг. 50) равна A=Pscosα (кгм), где Р - сила;       s - путь;       α - угол между силой и направлением движения (скоростью), Если сила направлена по скорости, то А=РS, если противопо­ложно: А = - РS. Работа силы, направленной перпендикулярно скорости, равна нулю (α = 90°). Пример. Определить работу, которую надо затра­тить, чтобы груз весом 2 т поднять по наклонной плоскости на высоту 5 м. Угол наклона плоско­сти α = 30°. Коэффициент трения f= 0,5 (фиг. 36). Искомая работа равна сумме работ составляющей G1 = G sin α силы веса и силы трения F = fG соs α, чи­сленные значения которых равны: G1 = 1 т; F = 0,865 т. Эта сумма работ равна G1*AB+F*AB = (G1+F)*AB = (G1+F)*BC/sinα = (1+0,865)*5/sin30° = 18,65 кгм. Работа силы веса равна весу, умноженному на высоту опускания (поднятия) центра тяжести тела: A=Gh. Работа силы упругости деформированной пружины равна A=Cλ2/2, где С - жесткость пружины (сила, необходимая для деформации пру­жины на единицу длины);        λ - величина деформации пружины. Пример. Какую работу совершает насос в течение часа, если, он подни­мает 100 л воды на высоту 2 м в течение 1 мин.? Работа насоса расходуется на преодоление силы веса поднимаемой воды. Работа силы веса 100 л воды за 1 мин. равна 100*2 = 200 кгм, а в час 200*60 = 12000 кгм. Это и будет работа, совершенная насосом за час.