Теорема гипотез (формула Байеса)

Формула Байеса исп д/определ вероятности гипотезы после испытания,когда событие А УЖЕ имело место.

Если событие А уже произошло,какие-то гипотезы отпадут,значит уменьшится их кол-во. А след-но каким-то образом изменятся их вероятности.

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания собятия А,кот уже произошло опред по формуле:

Р(Н_i /А)= (Р(Н_i) Р(А/Н_i)):((сверху n,снизу i=1) Р(Н_i) Р(А/Н_i))

Вероятность равна произведению вероятности до испытания на условную вероятность события делить на полную вероятность события.

Пример:

1. В пирамиде 5 винтовок.3-с оптикой,2-без.Вероятность попад из оптич винт-0,95,без-0,7. После выстрела из наугад взятой винтовки мишень оказалась поражена. Что вероятнее: стреляли из винт с оптикой или без?

1. Обозн событий и их вероятностей:

А-событие попадания в цель

Н₁-гипотеза,из опт винтовки

Н₂-без оптики

2. Расчетн формулы:

Вероятность гипотезы Н_i до испытания на условную вероятность события,делить на полн вероятность события:

Р(Н₁ /А)= (Р(Н₁) Р(А/Н₁)):((сверху 2,снизу i=1) Р(Н_i) Р(А/Н_i))

Р(Н₂ /А)= (Р(Н₂) Р(А/Н₂)):((сверху 2,снизу i=1) Р(Н_i) Р(А/Н_i))

3. Расчеты:

Р(Н₁)=3/5 *3-винт с оптикой,5-всего винтовок

Р(Н₂)=2/5

Р(А/Н₁)=95/100

Р(А/Н₂)=70/100

Р(Н₁ /А)=(3/5*95/100):( 3/5*95/100+2/5*70/100)=57/85

Р(Н₂ /А)=( 2/5*70/100):( 3/5*95/100+2/5*70/100)=28/85

Ответ:Вероятнее что стреляли из оптич винтовки.

2. С 3х конвееров поступ на склад детали в кол-ве 150,300,350 шт. вероятность брака 0,3 0,2 0,2. Наудачу взятая дет НЕбрак. Найти вероятность того,что деталь с третьего конвеера.

1. А-событие что деталь небрак

Н₁-гипотеза,что с первого конвеера

Н₂-со второго

Н₃-с третьего.

2. Р(Н₃ /А)= (Р(Н₃) Р(А/Н₃)):((сверху 2,снизу i=1) Р(Н_i) Р(А/Н_i))

3. Р(Н₁)=m/n=150/(150+300+350)=150/800

Р(Н₂)= 300/800

Р(Н₃)=350/800

Р(Н₁)+Р(Н₂)+Р(Н₃)=1

Р(А/Н₁)=1-0,3=0,7

Р(А/Н₂)=1-0,2=0,8

Р(А/Н₃)=1-0,2=0,8 *0,7 0,8 0,8-имела место та или иная гипотеза.

Р(Н₃ /А)=(7/16*8/10):(3/16*7/10+3/8*8/10+7/16*8/10)=44,8%

Формула Бернулли и следствие из нее.

Пусть производятся n независимых опытов,в кажд из кот событие А может появиться с вероятностью р. Тогда вероятность того,что в серии из n независ опытов событие А появится ровно m раз определиться по формуле.

P_n(m)=С_n^mP^m(1-p)^n-m

*???Все из событий А появл ровно n раз

С-число сочетаний из n-опытов по m

С_n^m=n!:(m!(n-m)!)

m-число появлений события А

р-вероятность появл событий в одном опыте.

Пример:

1. По цели пороизв 5 независ выстрелов. Вероятность попад-я при кажд выстреле 0,8. Определить вероятность поражения цели 3 выстрелами.

n=5

h=0,8

P(3)=?

1. Сост расчет формулу:

Р₅(3)=С₅³р³(1-р)²

С₅³=5!:(3!(53)!)=10

Р₅(3)=100,8³(1-0,8)²=0,2048(20%)

Следствие 1

Вероятность появл-я события хотя бы 1 раз в серии из n испытаний определяется по формуле:

P_n(m>=1)=1-(1-p)ⁿ

Р-вероятность попадания при 1 выстреле

1-р-вероятность промаха -//-

Следствие 2

Кол-во испытаний, опытов n необходимых д/появления события А хотя бы 1 раз с задан вероятностью опред по формуле:

(1-p)ⁿ =1-P_n(m>=1)

P_n(m>=1)-надежность

nlg(1-p)=lg(1-P_n(m>=1))

n=(lg(1-P_n(m>=1)): lg(1-p)