Ду: порядок ду, общее и частное решение. Задача Коши и ее геометрический смысл. Определение д.У. Порядок д.У. Общее и частное решение д.У.
1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные yʹ, yʹʹ,…y(n).Символическая запись ДУ: F=( yʹ, yʹʹ,…y(n))=0 .
Д.у.-ур-е в кот неизвестная ф-ция y нах под знаком производной (№: yʹ+5y=3x)
2.Порядком д.у. наз-ся порядок наивысшей производной, входящей в ур-е.
Если искомая функция у = f(x) есть функция одной независимой переменной, то ДУ называется обыкновенным ДУ (иначе ДУ называется ДУ в частных производных).
Решением или интегралом ДУ называется всякая дифференцируемая функция y = j(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.
График решения ДУ (график функции у = f(x)) называется интегральной кривой.
Все д.у. делятся на 2 класса:
1)обыкновенные-ур-я в кот искомая неизв ф-ция y явл-ся функцией одного аргумента y=f(x)
2)д.у.в частных производных- -//- нескольких аргументов z=f(x,y)
3.Решением д.у. явл-ся любая ф-ция y=j (x), кот при подстановке в ур-е обращает его в строгое рав-во.
№: y=x3; yʹ=3x2
3y-xyʹ=0; 3x3-x3x2=0; 0=0
Поскольку реш-е д.у связано с операцией интегрирования,то это приводит к появлению произвольной постоянной С.
При реш-и д.у. первого порядка появл-ся одна произвольная постоянная С.
-//- n-ного порядка интегрирование повторяется n раз, поэтому в реш-и будет содержаться n произв пост С С1, С2, С3,… Сn,
Общим решением д.у. n-ого порядка называется функция: y= j (x, С1, С2, С3,… Сn), кот зависит от n-произвольных постоянных и удовл д.у. при любых значениях С1, С2, С3,… Сn,
Частным реш-ем д.у. n-ого порядка называется любая функция, полученная из общего решения д.у. при конкретных значениях произвольных постоянных.
Для нахождения частного из общего необх исп заданные заранее начальные усл-я.
№: нач усл-я: при х=х0→у=у0, yʹ= у0ʹ, yʹʹ= у0ʹʹ
y(n)-порядок производной
yn-степень
Задача КОШИ. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
Задача отыскивания частного решения д.у. наз-ся решением задачи Коши.
Геометрически общее решение д.у. предст собой семейство кривых, кот назыв ИНТЕГРАЛЬНЫМИ КРИВЫМИ
y0
x0
Частное решение предст собой одну интегр кривую, прох через точку, заданную начальным условием.
Замечание. Решение ДУ, которое не может быть получено из общего решения ни при каких начальных условиях, называется особым.
Решить (проинтегрировать) ДУ – значит найти его общее решение и/или частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Геометрический смысл теоремы Коши. Существует, и притом единственная функция yʹ=j(x), график которой проходит через заданную точку (х0, у0) (единственная интегральная кривая, проходящая через заданную точку).
Рассмотрим решение простейшего ДУ первого порядка yʹ=f(x)
Решение такого уравнения сводится к интегрированию функции, стоящей в правой части уравнения
y=∫ f(x)dx+C
Пример. Общее решение дифференциального уравнения
y¢ – 3y = 0 имеет вид y(x) = Ce3x.
Найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(1) = e3.
Решение.
Значение произвольной постоянной С, соответствующее искомому частному решению, получается в результате подстановки в общее решение заданных начальных условий: e3 = C×e3, откуда С = 1. Подставляя полученное значение С = 1 в общее решение, найдем частное решение y = e3x, удовлетворяющее заданным начальным условиям.