Ду первого порядка: определение, типы, общее и частное решения.

ДУ первого порядка – уравнение вида: F(x,y, yʹ)=0 где х – независимая переменная; у – искомая функция; у¢ – ее производная.

Решением д.у. первого порядка назыв функция y=j(x,С) зависящая от одной произвольной постоянной С и кот при подстановке в ДУ обращает его в верное равенство. (и удовлетворяющая ДУ при любом конкретном значении С)

Частным реш-ем ДУ первого порядка является функция y=j(x,С₀) получаемая из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной.

Соотношение вида Ф(х,у,С)=0 называется частным интегралом ДУ первого порядка.

Если ДУ первого порядка разрешено относительно производной yʹ=f(x,у), оно называется ДУ решенным относительно производной.

Другие формы записи ДУ первого порядка: dy/dx=f(x,у), P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0

Равенство вида Ф(х,у,С)=0 неявно задающее общее решение ДУ, называется общим интегралом ДУ.

Решение ДУ в виде общего интеграла получают, когда выразить у из соотношения Ф(х,у,С)=0 в элементарных функциях не представляется возможным.

Однородные ду первого порядка

О. Уравнение первого порядка yʹ=f(x,у), называется однородным относительно x и y, если функцию f(x,у) можно представить как функцию отношения y/х , т.е. в виде f(x,у)=j( y/х),

Существует еще один признак однородного уравнения. Если уравнение yʹ=f(x,у) или уравнение P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0 не меняется при замене x на λx и у на λу, то такие уравнения называются однородными.

Подстановка y/х=t→y=tx→ yʹ=tʹx+t приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными: tʹx+t=j(t)

Разделив переменные, получим:dt/(j(t)-t)=dx/х

Интегрируя последнее уравнение, найдем: ∫dt/(j(t)-t)=∫dx/х

Подставляя после интегрирования вместо t отношение у/х, получим интеграл уравнения.

Линейные ду первого порядка

1.О. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции y и ее производной yʹ, т.е. уравнение вида:

yʹ+ P(x) y=Q(x),

где P(x) и Q(x)– заданные непрерывные функции от х (или постоянные).

Если правая часть данного ур-я =0, т.е. Q(x)=0, то такое ДУ yʹ+ P(x) y=0 называется однородным линейным ДУ первого порядка.

yʹ+ P(x) y=Q(x)- неоднородное ЛДУ первого порядка

Линейным данное ур-е называется потому что искомая функция у и ее производная yʹ входят в первую степень и не содержат членов содержащих yyʹ

2. Решение лду 1ого порядка.

2.1.Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)

Последовательность решения ЛНДУ методом Лагранжа заключ в следующем:

В начале решается соответствующее исходному неоднородному ДУ однородное ДУ

yʹ+ P(x) y=0

dy/dx=- P(x) y |dx |:y

∫dy/y=- ∫P(x) dx

ln|y|=-lne ^{P(x) dx}+ln|C|

|y|=| Ce^{-∫ P(x) dx}|

y= ±Ce^{-∫ P(x) dx} ±C=C₁

y= C₁e^{-∫ P(x) dx}

с этого момента начинается вариация произвольной С₁

С₁=С₁(х)-т.к. С₁-любое значение

Тогда: y= C₁(х)e^{-∫ P(x) dx}

Будем полагать что данное решение является решением иходного неоднородного ДУ, подставим его в yʹ+ P(x) y=Q(x) и определим закон изм-я произв постоянной С₁(х).

Для этого найдем производную yʹ

yʹ=производная первого на второе+производная второго на первое(y= C₁(х)e^{-∫ P(x) dx})

yʹ= C₁ʹ(х)e^{-∫ P(x) dx}- C₁(х)Р(х)e^{-∫ P(x) dx}

подставим полученные выражения в yʹ+ P(x) y=Q(x)

yʹ= C₁ʹ(х)e^{-∫ P(x) dx}- C₁(х)Р(х)e^{-∫ P(x) dx}

y= C₁(х)e^{-∫ P(x) dx} , тогда:

C₁ʹ(х)e^{-∫ P(x) dx}- C₁(х)Р(х)e^{-∫ P(x) dx}+ P(x)C₁(х)e^{-∫ P(x) dx} =Q(x)

C₁ʹ(х)e^{-∫ P(x) dx}=Q(x) | e^{∫P(x) dx}

C₁ʹ(х)= Q(x) e^{∫P(x) dx}

d C₁(х)/dx= Q(x) e^{∫P(x) dx} |dx

∫d C₁(х)= ∫Q(x) e^{∫P(x) dx}dx

C₁(х)= ∫Q(x) e^{∫P(x) dx}dx +C₂

Подставим полученное выражение в выражение y= C₁e^{-∫ P(x) dx}

y=( ∫Q(x) e^{∫P(x) dx}dx +C₂)e^{-∫ P(x) dx}

пример:

1. уʹ+3у=е^2х

1. уʹ+3у=0

у=С₁е^-3х (это реши сам)

2. пусть С₁ изм по вариации С₁=С₁(х), тогда реш-е однородного ур-я можно записать в виде:

у=С₁(х)е^-3х-будем полагать что это общее решение исходного неоднородного ду.

3. Подставим его в исходное неоднор ур-е и найдем закон изменения С₁(х).

уʹ= С₁ʹ(х)е^-3х-3 С₁(х)е^-3х

4. подставим значения у и уʹ в исходное:

С₁ʹ(х)е^-3х-3 С₁(х)е^-3х+3 С₁(х)е^-3х=е^2х

С₁ʹ(х)е^-3х=е^2х |е^3х

С₁ʹ(х)= е^5х

5. Разделим переменные:

d C₁(х)/dx= е^5х |dx

∫d C₁(х)= ∫ е^5х dx

C₁(х)=1/5 е^5х +С₂

6. Подставим значение C₁(х) в у=С₁(х)е^-3х. получим:

у=(1/5 е^5х +С₂) е^-3х