Условная независимость событий.

Если выпад соотношение что:

Р(А/В)=Р(А/В с черточкой)=Р(А)

Р(В/А)=Р(В/Ас черточкой)=Р(В) – независимые события.

Пример:

1. В урне 10 шаров. 7-белых. 3-черных.

Наугад берется 1 шар, потом другой. Найти вероятность того,что оба шара белые.

1. Обозн событий:

А-событие что второй шар белый

В-событие что первый шар белый.

2. Расчеты:

Р(А/В)=(7-1):(10-1)=2/3

Р(А/Вс черточкой)=7:(10-1)=7/9

Р(А/В) ≠Р(А/Вс черточкой)→А,В зависимые.

Теорема 3. Умножение вероятностей 2 независимых событий.

Вероятность произведения 2х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисляемую при усл что первое событие имело место.

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)= Р(В)Р(А/В)

Если А и В независимы,то вероятность 2х событий равна произведению их вероятностей:

Р(АВ)=Р(А)Р(В)

Если событий больше 2х,то:

Р(∩-сверху n снизу i=1 А_i)=∩-сверху n снизу i=1Р(А_i)

Следствие 1

Если события А₁,А₂, … А_n-равновероятны, т.е. вероятность

Р(А₁)=Р(А₂)=…=Р(А_n)=Р_у, то

Р(∩-сверху n снизу i=1 А_i)=Рⁿ

Следствие 1 (совместны)

Если события А₁,А₂, … А_n-независимы, но м.б. совместны, то вероятность появл хотя бы одного из них определ формулой:

Р_>=1=1-(1-Р(А₁))(1-Р(А₂))…(1-Р(А_n))

Р(А₁)=Р(А₂)=…=Р(А_n)=Р

Р_>=1=1-(1-Р)ⁿ

Пример:

1. Определить вероятность исправной работы цепочки состоящей из 2х элементов.

а) случай параллельного соединения

б) последовательного

если вероятность исправной работы первого 0.5, второго 0,6

решение:

1. Обозн событий:

А₁-событие исправной работы 1ого элемента

А₂-второго

2. Расчет формулы:

а) А=А₁+А₂(или 1 или 2 событие, события совсм могут произойти одноврем) необх применить формулу вероятности суммы 2х совм событий:

Р(А)=Р(А₁)+Р(А₂)-Р(А₁А₂)

Вероятность двух независ событий равна произведению их вероятностей.

б) А=А₁А₂

Р(А)=Р(А₁)Р(А₂)

3. Расчеты:

а) Р(А)=0,5+0,6-0,5*0,6=0,8(80%)

б) Р(А)=0,5*0,6=30%

Формула полной вероятности.

Пусть треб определ вероятность события А,кот может произойти только вместе с одним из событий:Н₁,Н₂, … H_n образующих полную группу несовместных событий

Данные события называются ГИПОТЕЗЫ поэтому формула полн вер им вид:

Р(А)=(сверху n,снизу i=1) Р(Н_i) Р(А/Н_i)

Полн вероятность события А равна сумме произведения вероятностей гипотез на условные вероятности событий.

По данным событиям требования к гипотезам: несовместные,сост полн группу Пример:

1. Имеется 3 урны. В первой-4 белых,6 черных шаров,во второй-3 и 5,в третьей только белые. К одной из урн подх и выним шар. Какова вероятность вытащить белый?

1. Обозн событий:

А-событие, что вынутый шар белый

Н₁- гипотеза,шар вынут из 1 урны, Н₂-из второй, Н₃-из третьей.

2. Расчет формула:

Р(А)=(сверху 3,снизу i=1) Р(Н_i) Р(А/Н_i) *3-т.к. 3 урны

3. Расчеты:

Р(Н₁)= Р(Н₂)= Р(Н₃)=1/3- вероятность что он подойдет к урне

Р(А/Н₁)=4:(4+6)=0,4(40%)

Р(А/Н₂)=3/8

Р(А/Н₃)=1

Р(А)=1/3*4/10+1/3*3/8+1/3*1=59%

*59% означают,что при проведении достаточно большого кол-ва опятов в одинак условиях в средем в 59 случаях из 100 будет вынут белый шар.

2. Из 2х швейных фабрик поступ на базу внешне одинак изделия. С 1ой фабрики поступ втрое больше изделий,чем со второй. Вероятность брака изд с первой фабрике 0,1, со второй 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделии окаж НЕ браков.

1. А-событие, что изделие вытащ из урны БЕЗ брака

Н₁-гипотеза,что изд будет с первой фабрики, Н₂-со второй

2. Расчетная формула: Р(А)=(сверху 2,снизу i=1) Р(Н_i) Р(А/Н_i) *2-т.к. 2 фабрики

3. Р(Н₁)* Р(Н₂)=3/4*1/4

Р(А/Н₁)=1-0,1=0,9 – вероятность без брака, а нам дан брак, значит 1-…

Р(А/Н₂)=1-0,05=0,95

Р(А)=9/10*3/4+1/4*95/100=91%

3. Предприятие выпуск за смену изделие 3х видов в кол-ве 160,430,360 шт. каждого вида. ОТК ставит штамп «Брак» или «Экспорт». Найти вероятность того,что наудачу взятое изделие пойдет на экспорт,если вероятность этого для каждого изделия вида 1,2,3=0.9, 0,8 и 0,6 соотв-но.

1. А-событие, что изделие пойдет на экспорт

Н₁-гипотеза,изделие 1ого вида Н₂-2ого вида Н₃-3его вида

2. Р(А)=(сверху 3,снизу i=1) Р(Н_i) Р(А/Н_i) *3-т.к. 3 вида изделий

3. Р(Н₁)=160/950

Р(Н₂)= 430/950

Р(Н₃)=360/950

Р(А)= 160/950*0,9+430/950*0,8+360/950*0,6=74%