- •Ду: порядок ду, общее и частное решение. Задача Коши и ее геометрический смысл. Определение д.У. Порядок д.У. Общее и частное решение д.У.
- •Ду первого порядка: определение, типы, общее и частное решения.
- •Однородные ду первого порядка
- •Линейные ду первого порядка
- •2. Решение лду 1ого порядка.
- •2.1.Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)
- •2.2. Метод Якова-Бернулли
- •Ду с разделяющимися переменными и его решение.
- •Ду второго порядка, его общее и частное решение. Простейшее ду второго порядка и его решение.
- •Линейные ду второго порядка: определение, виды.
- •Решение лоду второго порядка с пк
- •Предмет и задачи теории вероятностей. Области применения методов теории вероятностей.
- •Области применения методов тв
- •Основные элементы теории вероятностей. Случайные события: понятия, виды случайных событий.
- •2 Раздела Теории вероятностей:
- •Вероятность случайного события: определение, способы вычисления вероятности.
- •Классический
- •Геометрический
- •Статистический
- •Основные элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.
- •Перестановка
- •Размещение
- •Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и следствия из нее.
- •Теорема сложения.
- •Теорема 1.Сложение вероятностей 2х несовместных событий
- •Теорема 2. Сложение вероятностей 2 совместных событий.
- •Произведение событий. Теорема умножения вероятностей для независисмых событий и следствия из нее.
- •Условная независимость событий.
- •Формула полной вероятности.
- •Теорема гипотез (формула Байеса)
- •Формула Бернулли и следствие из нее.
- •Дискретные св и законы их распределения.
- •Формы законов распределения св
- •Ряд распределения
- •Законы распределения наиболее часто встречающихся на практике св. Закон распределения дискретных св.
- •Биномиальный закон (я.Бернулли)
- •Закон Пуассона
- •Непрерывная св и ее законы распределения.
- •Формы законов распределения св
- •Числовые характеристики положения св.
- •Характеристики положения св
- •Числовые характеристики рассеивания св.
- •Дисперсия
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Решение нлду 2ого порядка с постоянными коэффициентами.
- •Решение yоднор:
Линейные ду второго порядка: определение, виды.
О. ур-е уʹʹ+р(х)уʹ+q(x)y=f(x) где р(х), q(x), f(x) – непрерывные функции, называется ЛДУ второго порядка
уʹʹ+р(х)уʹ+q(x)y=0-однородное ЛДУ второго порядка
О. ур-е вида: уʹʹ+руʹ+qy=f(x), где p, q – действительные числа, f(x) – непрерывная функция, называется ЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение ЛДУ 2ого порядка с пост коэфф.
Пусть данo: уʹʹ+руʹ+qy=f(x)
Вначале решается (нах-ся общее решение) ЛОДУ 2ого порядка соответствующее исходному
уʹʹ+руʹ+qy=0
общее реш-е ЛОДУ 2ого порядка с ПК будем искать в виде:
y=ekx (Л.Эйлер), где k-некоторое число
необходимо подставить данное решение в ЛОДУ уʹʹ+руʹ+qy=0
для этого возьмем уʹ и уʹʹ
уʹ=(ekx)ʹ=k ekx
уʹʹ=( k ekx)ʹ= k2 ekx
подставим в ЛОДУ уʹʹ+руʹ+qy=0
k2 ekx+р k ekx+q ekx=0
ekx(k2+р+q)=0
т.к. ekx≠0 никогда, то:
k2+р+q=0 – полученное квадратное уравнение-характеристическое ур-е ЛОДУ 2ого порядка (т.к. оно определяет характер решения). Оно получается путем замены уʹ и уʹʹ
*необх условие интегрирования – непрерывность функции.
При решении характеристического уравнения возможны следующие варианты:
k1 и k2 – действительны и различны. т.е. K1≠k2. В этом случает общее решение ЛОДУ 2ого порядка будет иметь вид:
y=C1 ek1x+ C2 ek2x
Корни характеристического уравнения действительны и одинаковы. В этом случае -// k1=k2=k
y=C1 ekx+ C2x ekx= ekx (C1+ C2x)
Когда K1 и k2 комплексносопряженные (Д<0)-дейсвительные части одинаковые а мнимые различаются одним знаком.
k1=+i
k2=-i, где -действительная часть, -мнимая, i-мнимая единица. В этом случае -//-
y= ex (C1cosx+ C2sinx)
Решение лоду второго порядка с пк
О. ур-е вида: уʹʹ+руʹ+qy=f(x), где p, q – действительные числа, f(x) – непрерывная функция, называется ЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение ЛДУ 2ого порядка с пост коэфф.
Пусть данo: уʹʹ+руʹ+qy=f(x)
Вначале решается (нах-ся общее решение) ЛОДУ 2ого порядка соответствующее исходному
уʹʹ+руʹ+qy=0
общее реш-е ЛОДУ 2ого порядка с ПК будем искать в виде:
y=ekx (Л.Эйлер), где k-некоторое число
необходимо подставить данное решение в ЛОДУ уʹʹ+руʹ+qy=0
для этого возьмем уʹ и уʹʹ
уʹ=(ekx)ʹ=k ekx
уʹʹ=( k ekx)ʹ= k2 ekx
подставим в ЛОДУ уʹʹ+руʹ+qy=0
k2 ekx+р k ekx+q ekx=0
ekx(k2+р+q)=0
т.к. ekx≠0 никогда, то:
k2+р+q=0 – полученное квадратное уравнение-характеристическое ур-е ЛОДУ 2ого порядка (т.к. оно определяет характер решения). Оно получается путем замены уʹ и уʹʹ
*необх условие интегрирования – непрерывность функции.
При решении характеристического уравнения возможны следующие варианты:
k1 и k2 – действительны и различны. т.е. K1≠k2. В этом случает общее решение ЛОДУ 2ого порядка будет иметь вид:
y=C1 ek1x+ C2 ek2x
Корни характеристического уравнения действительны и одинаковы. В этом случае -// k1=k2=k
y=C1 ekx+ C2x ekx= ekx (C1+ C2x)
Когда K1 и k2 комплексносопряженные (Д<0)-дейсвительные части одинаковые а мнимые различаются одним знаком.
k1=+i
k2=-i, где -действительная часть, -мнимая, i-мнимая единица. В этом случае -//-
y= ex (C1cosx+ C2sinx)