Решение нлду 2ого порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уʹʹ+руʹ+qy=f(x)

Общее решение данного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего ЛОДУ 2ого порядка и одного из частных решений НЛДУ 2ого порядка.

у=y_однор+ỹ,где

y_однор-общее решение соотв исходному однор ур-я

ỹ- частное решение исходного.

1. Решение yоднор:

1. K₁ и k₂ – действительны и различны. т.е. K₁≠k_2. В этом случает общее решение ЛОДУ 2ого порядка будет иметь вид:

y=C₁ e^k1x+ C₂ e^k2x

2. Корни характеристического уравнения действительны и одинаковы. В этом случае -// k₁=k₂=k

y=C₁ e^kx+ C₂ e^kx= e^kx (C₁+ C₂x)

3. Когда K₁ и k₂ комплексносопряженные (Д<0)-дейсвительные части одинаковые а мнимые различаются одним знаком.

k₁=+i

k₂=-i, где -действительная часть, -мнимая, i-мнимая единица. В этом случае -//-

y= e^x (C₁cosx+ C2sinx)

2. для нахождения одного из ỹ необходимо применить метод вариации произвольных постоянных.

В связи с тем, что данный метод довольно трудоемкий в некоторых случаях можно применить более простой метод – метод неопределенных коэффициентов.

Это возможно, когда правая часть имеет соответствующий вид:

1. правая часть:

f(x)=Pn(x), где Pn(x)=a₀xⁿ+ a₁x^n-1+… a_n-многочлен n-ой степени

y с=Qn(х)x^r, где

Qn(х)-многочлен в той же степени, что и Рn(x)

r-число корней характеристического уравнения равных 0

пример:

уʹʹ-2уʹ+y=х+1

решение:

1. уʹʹ-2уʹ+y=0

k²+2k+1=0

k₁=k₂=1

y=C₁ e^x+ C₂x e^x= e^x (C₁+ C₂x)

2. частное решение:

ỹ=(Ах+В)х⁰

r=0

ỹ=Ах+В

(ỹ)ʹ=A

(ỹ)ʹʹ=Aʹ=0

Подставим в исходное:

0-2А+Ах+В=х+1

Ах+(В-2А)=х+1

→А=1,В=3

ỹ=х+3

y=e^x (C₁+ C₂x)+ х+3

2. правая часть:

f(x)= e^x Pn(x), где Pn(x)=a₀xⁿ+ a₁x^n-1+… a_n-многочлен n-ой степени, -действительное число.

В этом случае частное решение будет иметь вид:

уʹ= Qn(х) e^x x^r

r-число корней характеристического уравнения равных 

при =0 получаем случай 1)

*если в усл есть е^х то 2 случай, если нет-то первый.