3. Расчет винтовых цилиндрических пружин растяжения (сжатия)
На рис.2.4 показана винтовая цилиндрическая пружина (в разрезе). На рисунке приняты следующие обозначения: D – средний диаметр пружины, Dн – наружный диаметр пружины, t – шаг витков пружины, H0 – длина пружины в свободном (ненагруженном) состоянии.
При расчете пружин, работающих на растяжение или сжатие, учитывают индекс пружины с, определяемый как отношение значения среднего диаметра пружины D к значению диаметра проволоки d, из которой она изготовлена, т.е. c=. Чем меньше индекс с, тем труднее навить пружину. Кроме этого, с уменьшением индекса пружины увеличивается концентрация напряжений на внутренней стороне витка.
Рекомендуемые значения индекса пружины в зависимости от диаметра проволоки приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Рекомендуемые значения индекса пружины
При расчете пружин, работающих на сжатие, для повышения их устойчивости (исключения выпучивания) рекомендуется назначать высоту пружины меньше утроенного значения ее диаметра. При наличии специальных направляющих высота пружины может быть увеличена до пяти ее диаметров.
П
ри
расчете винтовых цилиндрических пружин,
работающих на растяжение (сжатие),
заданными обычно являются внешняя
нагрузка F и величина деформации пружины
f. Кроме этого, выбирают материал
проволоки, из которой будет навита
пружина. Расчет пружины состоит в
определении необходимого диаметра d
проволоки, среднего диаметра D и количества
рабочих витков n пружины.
Рис. 3. 5
Выполним
поперечное сечение витка пружины
некоторой плоскостью и, отбросив часть
пружины, рассмотрим силы, действующие
на оставшуюся ее часть (рис.3.5). Под
действием осевой силы F материал пружины
испытывает сложную деформацию, состоящую
из деформации кручения под действием
крутящего момента
и деформации среза под действием
перерезывающей силы Q, уравновешенной
силой F, т.е. Q=F.
Пренебрегая кривизной проволоки и предполагая равномерное распределение напряжений среза по поперечному сечению, а также учитывая, что Q=F, выражение для максимальных касательных напряжений, действующих в сечениях проволоки, запишется в виде
Где
– полярный момент сопротивления
сечения проволоки диаметром d; S = pd2/4 –
площадь поперечного сечения проволоки.
Сравнивая первое и второе слагаемые выражения (2.4), видим, что напряжения кручения в 2с раз больше напряжений среза и поэтому при расчете винтовых пружин растяжения (сжатия) учитываются напряжения, возникающие вследствие деформации кручения.
Для определения диаметра проволоки, из которой будет навита пружина, используется следующая зависимость:
(2,5)
где
– коэффициент, учитывающий концентрацию
напряжений на внутренней стороне витка
пружины; [t] – предельно допустимое
значение напряжения для материала
проволоки.
Подставив в (2.5) значение с=D/d, получим выражение для определения необходимого диаметра проволоки:
(2,6)
Полученное значение диаметра проволоки округляют до ближайшего значения из стандартного ряда диаметров. По принятому индексу пружины с и найденному диаметру проволоки d определяют диаметр пружины D= dс.
Определение числа витков пружины определим исходя из заданной величины деформации f, считая, что работа, совершаемая силой F на перемещение f, должна быть равна работе крутящего момента Ткр на угловом перемещении j :
(2,7)
Из выражения (2.7) найдем соотношение между линейной f и угловой j деформациями:
(2,8)
Величина угла закручивания при деформации кручения определяется выражением
(2,9)
где l=pdn – выпрямленная длина n витков пружины; Jr = pd4/32 – полярный момент инерции сечения проволоки, G – модуль упругости второго рода.
Тогда выражение (2.8) с учетом (2.9) примет вид
(2,10)
С учетом выражения для индекса пружины с, из (3.10) получим выражение для определения числа витков, необходимого для обеспечения заданного перемещения,
(2,11)
Для производства винтовых пружин методом холодной навивки применяют стальную или бронзовую проволоку соответствующих профилей и марок. В большинстве случаев применяют проволоку круглого сечения. Пружины повышенной жесткости изготавливают с прямоугольным поперечным сечением.