19. Теорема Больцано-Коши о нулях функции

Если функция   непрерывна на отрезке  , ее значения на концах отрезка   и   не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале   имеется по крайней мере одна точка   такая, что  .

Доказательство (метод Больцано деления отрезка пополам). Пусть   (см. рис. 6.2.3).

Рис. 6.2.3

Обозначим отрезок  . Разделим его пополам. Если в середине отрезка   функция равна нулю, то все доказано. Если нет, то обозначим за   ту из половин отрезка  , на концах которой функция   имеет разные знаки:  . Разделим отрезок   пополам. Если в середине отрезка   функция равна нулю, то все доказано. Если нет, то обозначим за   ту из половин отрезка  , на концах которой функция   имеет разные знаки:  . Рассуждая таким образом, мы либо на каком-то шаге получим точку, в которой функция обращается в нуль, и все доказано, либо построим систему вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, и для всех   выполняются неравенства  . Следовательно, по теореме Кантора существует точка  , принадлежащая всем отрезкам  . Поэтому   и  . Тогда, с одной стороны, 

с другой стороны, в силу непрерывности функции   в точке  , 

Следовательно,  .

20. *Теорема о существовании обратной функции

Если функция   и строго монотонная на множестве  , то обратное соответствие   однозначное, т. е. будет обратной функцией, и тоже строго монотонное.

Доказательство. Положим, для определенности, что функция   строго монотонно возрастает на  . Возьмем любое  . Так как по условию теоремы прямая функция отображает   на  , то полный прообраз элемента   не пуст, т. е.  . Если предположить, что  состоит более чем из одного элемента, то получим противоречие. Действительно, пусть  . Тогда, если  , то по условию строгого монотонного возрастания функции   справедливо неравенство  , но это противоречит тому, что . Если  , получим аналогичное противоречие. Следовательно,   состоит только из одного элемента, и поэтому соответствие   есть обратная функция.

Функция   -- строго монотонно возрастающая на   Действительно, пусть   и  ,  , тогда если  , то , а у нас  ; если  , то  , а у нас  . Следовательно, , т. е. функция   строго монотонно возрастает на  .

21. *Теорема о существовании и непрерывности обратной функции

Пусть функция   определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке      . Тогда , и обратная функция   определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке  .

Доказательство. Докажем сначала, что  .  Пусть  . Если   или  , то  . Если  , то найдется   такая, что  , т. е. .

Пусть  , тогда найдется   такая, что  . Следовательно, в силу строгого возрастания функции   на отрезке   имеем:  . Таким образом, .

Итак,   и строго возрастает, следовательно, существует обратная функция  , и она строго возрастает на  .

Докажем теперь непрерывность функции   на отрезке  . Рассмотрим любое   и любую последовательность  , сходящуюся к  . Обозначим    . Надо доказать, что  . Предположим противное. Тогда из условия  следует, что существует ее подпоследовательность   и  . Из непрерывности функции   в точке  следует сходимость   к  . Но  , а это дает противоречие.

Таблица замечательных пределов

1) 

3) 

5)