- •Единственность предела сходящейся последовательности
- •Ограниченность сходящейся последовательности
- •Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Теорема Кантора о вложенных отрезках
- •Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях.
- •Критерий Коши сходимости последовательности.
- •*Теорема о существовании точных границ числовых множеств.
- •*Принцип Бореля-Лебега
- •*Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки у ограниченного числового множества
- •Эквивалентность 2х определений предела функции в точке
- •*Критерий Коши предела функции в точке
- •Непрерывность сложной функции
- •Теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций на отрезке
- •Теорема Больцано-Коши о нулях функции
- •*Теорема о существовании обратной функции
- •*Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
- •Непрерывность дифференцируемой функции
- •Доказательство
- •Производная и дифференцируемость функции в точке
- •Дифференцируемость функции в точке: правила дифференцирования, дифференцируемость сложной функции
- •Правила дифференцирования
- •25. Теоремы о среднем: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши Теоремы Ферма и Ролля.
- •Теоремы Коши и Лагранжа.
- •26. Правила Лопиталя
- •27. *Теорема Тейлора
- •28. Достаточные условия экстремума
- •29. Точки возрастания функции и второе достаточное условия экстремума функции в точке
Непрерывность сложной функции
Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , где , то сложная функция непрерывна в точке .
Доказательство. Пусть . Тогда в силу непрерывности в точке функции последовательность сходится к . Но тогда, в силу непрерывности уже функции в точке , последовательность сходится к . Итак, из определения Гейне следует, что функция непрерывна в точке .
Если считать, что существуют пределы при и при , то в теореме доказано, что
Это равенство можно понимать как правило замены переменной при нахождении пределов.
Теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций на отрезке
Напомним, что функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала и непрерывна справа в точке и слева в точке .
Для таких функций имеет место ряд важных теорем.
Теорема 6.2.1 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем.
Необходимо доказать, что существует , что для всех выполняется .
Доказательство (от противного). Пусть для всякого найдется такая точка , что :
для найдется ;
для найдется и т. д.,
. . . . . . . .
для найдется и т. д.,
. . . . . . . .
Итак, построена последовательность такая, что для всех : . Ясно, что . Последовательность , т. е. ограничена. Следовательно, по теореме Больцано - Вейерштрасса, существует подпоследовательность такая, что . Так как функция непрерывна на отрезке , она непрерывна и в точке . Итак, имеем , но по построению , что является противоречием.
Теорема 6.2.2 (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная функция на отрезке достигает в некоторых точках отрезка своих точных верхней и нижней границ, т. е. существуют такие, что
Доказательство. Докажем существование точки максимума функции , т.е. точки , в которой значение функции равно точной верхней грани множества значений функции . По предыдущей теореме 6.2.1 непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке, следовательно, ограничена сверху, например, числом , т. е. для всех . Тогда существует точная верхняя граница множества значений функции на отрезке , т.е. такое число , что
1) для всех ;
2) для любого существует точка .
Возьмем последовательные значения Тогда построена последовательность . Эта последовательность ограничена. Следовательно, по теореме Больцано - Вейерштрасса из нее можно выделить подпоследовательность такую, что . Функция непрерывна в точке .
Следовательно, , но, с другой стороны, для всех выполняется . В силу свойства 3.2.5 сходящихся последовательностей заключаем, что . Итак, .
Замечание 6.2.1. Если функция разрывна, то теорема 6.2.2, вообще говоря, неверна. Например, , (см. рис. 6.2.1). Значение, равное , функцией не достигается.
Рис. 6.2.1 Рис. 6.2.2
Теорема 6.2.3. Если функция непрерывна на отрезке , ее значения на концах отрезка и не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале имеется по крайней мере одна точка такая, что .
Доказательство (метод Больцано деления отрезка пополам). Пусть (см. рис. 6.2.3).
Рис. 6.2.3
Обозначим отрезок . Разделим его пополам. Если в середине отрезка функция равна нулю, то все доказано. Если нет, то обозначим за ту из половин отрезка , на концах которой функция имеет разные знаки: . Разделим отрезок пополам. Если в середине отрезка функция равна нулю, то все доказано. Если нет, то обозначим за ту из половин отрезка , на концах которой функция имеет разные знаки: . Рассуждая таким образом, мы либо на каком-то шаге получим точку, в которой функция обращается в нуль, и все доказано, либо построим систему вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, и для всех выполняются неравенства . Следовательно, по теореме Кантора существует точка , принадлежащая всем отрезкам . Поэтому и . Тогда, с одной стороны,
с другой стороны, в силу непрерывности функции в точке ,
Следовательно, .
Теорема 6.2.4. Если функция непрерывна на отрезке , причем , и -- произвольное число такое, что , то на интервале найдется по крайней мере одна точка , в которой т. е. непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка .
Доказательство. Рассмотрим функцию , где . Функция непрерывна на отрезке , и , . Следовательно, по теореме 6.2.3 существует точка . Отсюда, .
Замечание 6.2.2. Если функция разрывна, то теорема, вообще говоря, неверна. Например, можно взять функцию . Числовые значения из промежутка этой функцией не принимаются (см. рис. 6.2.2).
Просто на всякии случай
Определение Функция f (x) называется равномерно непрерывной на множестве D ⊂ R , если для ε>0, найдется δ(ε) > 0 , такое что для любых двух, x1, x2 ∈ D , удовлетворяющих условию x x 1 2 − < δ , выполняется неравенство f x f x ( ) ( ) 1 2− < ε
Примером равномерно непрерывной функции является y = x 2