ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Определения
-
Множество A – совокупность элементов, объединённых каким-нибудь общим свойством.
-
xA – элемент x принадлежит множеству A.
-
xA – элемент x не принадлежит множеству A.
-
– пустое множество.
-
B является подмножеством A, BA (xB xA), т.е. каждый элемент xB обладает свойством xA.
-
, т.е. является подмножеством любого множества.
-
Множества A и B равны, A=B ( ).
-
B является строгим подмножеством A, BA (BA BA).
-
B является собственным подмножеством A (BA BA B).
-
Операции над множествами:
- объединение множеств A и B:
= { x : x или xB}
- пересечение множеств A и B:
= { x : x и xB}
- разность множеств A и B:
\ B = { x : x и xB }
- симметрическая разность множеств A и B:
B = (A \ B)(B \ A)
- дополнение множества A относительно U, AU:
= U \ A
Следует обратить внимание:
1. При доказательстве включения AB использовать следующую схему доказательства:
«Пусть x, тогда ..., значит xB. Следовательно, AB.»
либо использовать элементарные соотношения типа:
(1) A, B
(2) A AB, B AB
(3) A \ B
(4) A B и B C A C
и т.д.
2. При доказательстве равенства двух множеств нужно проверять два включения (см. определение равенства).
3. Правильно пользоваться отрицанием условий:
x x и xB
x x или xB
x \ B x или xB
Примеры решения задач
1. Доказать равенство множеств: = (B \ A).
Решение.
Докажем, что (B \ A).
Пусть xAB, тогда xA или xВ.
Если xA, то по формуле (2) x(B \ A).
Если xA и xВ, то по определению разности множеств x(B \ A). По формуле (2) x(B \ A).
Докажем, что (B \ A).
Пусть x(B \ A), тогда xA или x(B \ A).
Если xA, то по формуле (2) xB.
Если x(B \ A), то по определению разности множеств xB и xA. Так как xB, то по формуле (2) xB.
2. Доказать: ABC AB и AC
Решение.
Докажем, что ABC AB и AC.
Способ 1.
Чтобы доказать, что AB и AC, возьмем x. Так как ABC, то из x следует, что xB и xC. Значит, одновременно выполняются (x и xB) и (x и xC). Поэтому AB и AC.
Способ 2.
Учитывая соотношение (1) имеем: ABCB и ABCС. Отсюда по транзитивности получаем: AB и AC.
Докажем, что ABC AB и AC.
Чтобы доказать, что ABC, возьмем x. Так как AB и AC, то из x следует, что xB и xC. По определению пересечения множеств получаем, что x BC.
3. Существуют ли такие множества А, В и С, что , С = , () \ С = ?
Если существуют, то привести пример. Если не существуют, то доказать это.
Решение.
Докажем от противного, что таких множеств не существует.
Предположим, что существуют множества А, В и С, удовлетворяющие условию задачи. Так как , то существует x, то есть x и xB. Поскольку x и по условию С = , то xС. Так как xС и x, то по определению разности множеств x() \ С. Значит, () \ С , что противоречит условию задачи. Следовательно, таких множеств не существует.
4. Доказать равенство множеств А \ (А \ В) = АВ.
Решение.
xА \ (А \ В)
xА и x А \ В
xА и (xА или xВ)
xА и xВ
xАВ.
Задачи для самостоятельного решения:
-
Доказать: ABС AС и BС.
-
A(BC) = (AB)(AC).
-
A (BC) = (A B)(A C).
-
Законы де Моргана для AU, BU:
(a)=.
(b)=.
ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Определения
-
Мощность множества B – это число его элементов, обозначается |B|.
-
Мощность множества всех подмножеств множества A равна: |P(A)| = 2|A|.
-
Декартово произведение множеств A и B: AB = { (x, y) : xA и yB}.
-
Мощность декартова произведения множеств A и B равна: |AB| = |A||B|.
Пример 1.
Пусть A={1, 2, 3}, B={a, b}. Тогда декартовы произведения:
AB = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) },
BA = { (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }.
Видно, что AB BA.
Мощности: |AB| = |BA| = 32=6.
Пример 2.
Пусть A=[-1, 2], B=[1, 3] – отрезки прямых. Тогда декартово произведение AB – это все точки (пары координат) прямоугольника:
Примеры решения задач
1. Доказать равенство множеств: (B)С=(AC) (BC)
Решение.
Докажем, что (B)С(AC) (BC).
Пусть z(AB)С, тогда z=(x, y), где xAB и yС. Значит, xA или xВ. То есть xA и yС или xВ и yС. Поэтому zAC или zBC. По определению объединения z(AC) (BC).
Докажем, что (B)С (AC) (BC).
Пусть z(AC)(BC), тогда zAC или zBC. Так как z=(x, y), то xA, yС или xB, yС. Значит, xA или xВ при yС. Поэтому xAB и yС. По определению декартова произведения z(B)С.
БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ, ФУНКЦИИ, ПОРЯДОК.
Определения
-
Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество декартова произведения RAB, RAА.
-
Если А=В, то R – это бинарное отношение на A.
-
Обозначение: (x, y)R xRy.
-
Область определения бинарного отношения R – это множество R = {x : существует y такое, что (x, y)R}.
-
Область значений бинарного отношения R – это множество R = {y : существует x такое, что (x, y)R}.
-
Дополнение бинарного отношения R между элементами А и В – это множество R = (AB) \ R.
-
Обратное отношение для бинарного отношения R – это множество R1 = {(y, x) : (x, y)R}.
-
Произведение отношений R1AB и R2BC – это отношение R1 R2 = {(x, y) : существует zB такое, что (x, z)R1 и (z, y)R2}.
-
Отношение f называется функцией из А в В, если выполняется два условия:
а) f = А, f В
б) для всех x, y1, y2 из того, что (x, y1)f и (x, y2)f следует y1=y2.
-
Отношение f называется функцией из А на В, если в первом пункте будет выполняться f = А, f = В.
-
Обозначение: (x, y)f y = f(x).
-
Тождественная функция iA: AA определяется так: iA(x) = x.
-
Функция f называется 1-1-функцией, если для любых x1, x2, y из того, что y = f(x1) и y = f(x2) следует x1=x2.
-
Функция f: AB осуществляет взаимно однозначное соответствие между А и В, если f = А, f = В и f является 1-1-функцией.
-
Свойства бинарного отношения R на множестве А:
- рефлексивность: (x, x)R для всех xA.
- иррефлексивность: (x, x)R для всех xA.
- симметричность: (x, y)R (y, x)R.
- антисимметричность: (x, y)R и (y, x)R x=y.
- транзитивность: (x, y)R и (y, z)R (x, z)R.
- дихотомия: либо (x, y)R, либо (y, x)R для всех xA и yA.
-
Множества А1, A2, ..., Аr из Р(А) образуют разбиение множества А, если
-
Аi , i = 1, ..., r,
-
A = A1A2...Ar,
-
AiAj = , i j.
Подмножества Аi , i = 1, ..., r, называются блоками разбиения.
-
Эквивалентность на множестве А – это рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение на А.
-
Класс эквивалентности элемента x по эквивалентности R – это множество [x]R={y : (x, y)R}.
-
Фактор множество A по R – это множество классов эквивалентности элементов множества А. Обозначение: A/R.
-
Классы эквивалентности (элементы фактор множества А/R) образуют разбиение множества А. Обратно. Любому разбиению множества А соответствует отношение эквивалентности R, классы эквивалентности которого совпадают с блоками указанного разбиения. По-другому. Каждый элемент множества А попадает в некоторый класс эквивалентности из A/R. Классы эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.
-
Предпорядок на множестве A – это рефлексивное и транзитивное отношение на А.
-
Частичный порядок на множестве A – это рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение на А.
-
Линейный порядок на множестве A – это рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение на А, удовлетворяющее свойству дихотомии.
Пример 1.
Пусть A={1, 2, 3}, B={a, b}. Выпишем декартово произведение: AB = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }. Возьмём любое подмножество этого декартова произведения: R = { (1, a), (1, b), (2, b) }. Тогда R – это бинарное отношение на множествах A и B.
Будет ли это отношение являться функцией? Проверим выполнение двух условий 9a) и 9б). Область определения отношения R – это множество R = {1, 2} {1, 2, 3}, то есть первое условие не выполняется, поэтому в R нужно добавить одну из пар: (3, a) или (3, b). Если добавить обе пары, то не будет выполняться второе условие, так как ab. По этой же причине из R нужно выбросить одну из пар: (1, a) или (1, b). Таким образом, отношение R = { (1, a), (2, b), (3, b) } является функцией. Заметим, что R не является 1-1 функцией.
На заданных множествах A и В функциями также будут являться следующие отношения: { (1, a), (2, a), (3, a) }, { (1, a), (2, a), (3, b) }, { (1, b), (2, b), (3, b) } и т.д.
Пример 2.
Пусть A={1, 2, 3}. Примером отношения на множестве A является R = { (1, 1), (2, 1), (2, 3) }. Примером функции на множестве A является f = { (1, 1), (2, 1), (3, 3) }.
Примеры решения задач
1. Найти R, R, R1, RR, RR1, R1R для R = {(x, y) | x, y D и x+y0}.
Решение.
Е сли (x, y)R, то x и y пробегают все действительные числа. Поэтому R = R = D.
Если (x, y)R, то x+y0, значит y+x0 и (y, x)R. Поэтому R1=R.
Для любых xD, yD возьмём z=-|max(x, y)|-1, тогда x+z0 и z+y0, т.е. (x, z)R и (z, y)R. Поэтому RR = RR1 = R1R = D2.
2. Для каких бинарных отношений R справедливо R1= R?
Решение.
Пусть RAB. Возможны два случая:
-
AB. Возьмём xAB. Тогда (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) \ R (x, x)R. Противоречие.
-
AB=. Так как R1BA, а RAB, то R1= R= . Из R1 = следует, что R = . Из R = следует, что R=AB. Противоречие.
Поэтому если A и B, то таких отношений R не существует.
3. На множестве D действительных чисел определим отношение R следующим образом: (x, y)R (x–y) – рациональное число. Доказать, что R есть эквивалентность.
Решение.
Рефлексивность:
Для любого xD x-x=0 – рациональное число. Потому (x, x)R.
Симметричность:
Если (x, y)R, то x-y = . Тогда y-x=-(x-y)=- – рациональное число. Поэтому (y, x)R.
Транзитивность:
Если (x, y)R, (y, z)R, то x-y = и y-z =. Складывая эти два уравнения, получаем, что x-z = + – рациональное число. Поэтому (x, z)R.
Следовательно, R – это эквивалентность.
4. Разбиение плоскости D2 состоит из блоков, изображённых на рисунке а). Выписать отношение эквивалентности R, соответствующее этому разбиению, и классы эквивалентности.
Аналогичная задача для b) и c).
Решение.
а) две точки эквивалентны, если лежат на прямой вида y=2x+b, где b – любое действительное число.
b) две точки (x1,y1) и (x2,y2) эквивалентны, если (целая часть x1 равна целой части x2) и (целая часть y1 равна целой части y2).
с) решить самостоятельно.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Доказать, что если f есть функция из A в B и g есть функция из B в C, то fg есть функция из A в C.
2. Пусть A и B – конечные множества, состоящие из m и n элементов соответственно.
-
Сколько существует бинарных отношений между элементами множеств A и B?
-
Сколько имеется функций из A в B?
-
Сколько имеется 1-1 функций из A в B?
-
При каких m и n существует взаимно-однозначное соответствие между A и B?
3. Доказать, что f удовлетворяет условию f(AB)=f(A)f(B) для любых A и B тогда и только тогда, когда f есть 1-1 функция.
КОМБИНАТОРИКА
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначается:
n! = 1·2·3·…·(n-1)·n, 0! = 1
Пусть X={x1, x2, ..., xn} – это множество из n элементов, k n.
Размещение элементов из X объёма k – это упорядоченное подмножество из k элементов, принадлежащих X.
Количество размещений объёма k из n различных элементов с неограниченными повторениями:
= nk (значмест)
Если на каждую i-ю из k позиций можно поставить один из qi элементов множества X, то количество таких размещений равно:
(q1, q2, ..., qn) = q1 q2 ... qn
Количество размещений объёма k из n различных элементов без повторений:
= n(n - 1)(n - 2) … (n - k + 1)=
Перестановка элементов из X – это размещение элементов из X объёма n.
Количество перестановок из n различных элементов:
= Pn = n!
Если n элементов содержат qi элементов i-го сорта, q1 + q2 + ... + qm = n и элементы одного сорта идентичны, то число перестановок равно:
Pn(q1, q2, ..., qm) =
Сочетание элементов из X объёма k – это неупорядоченное подмножество из k элементов, принадлежащих X.
Сочетания, размещения и перестановки могут быть также с повторениями элементов множества X (неограниченными и ограниченными).
Количество сочетаний объёма k из n различных элементов без повторений:
Количество сочетаний объёма k из n различных элементов с неограниченными повторениями:
Бином Ньютона:
Свойства:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
При решении комбинаторных задач часто используются следующие правила комбинаторики:
-
Правило суммы. Если объект А может быть выбран n способами, а объект B другими m способами, то выбор «либо А, либо В» может быть осуществлен n+m способами.
-
Правило произведения. Если объект А может быть выбран n способами и после каждого из таких выборов объект B в свою очередь может быть выбран m способами, то выбор «A и B» в указанном порядке может быть осуществлен nm способами.
Задача-пример. Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более трех юношей?
Решение. Условие «не более трех» означает, что в команду может входить либо 3 юноши, либо 2 юноши, либо 1 юноша, либо ни одного юноши. Таким образом, в задаче выделяются четыре различных случая. В соответствии с правилом сложения нужно подсчитать количества вариантов в каждом из этих случаев и сложить их.
Рассмотрим первый случай. Нужно подсчитать, сколькими способами можно выбрать из 12 девушек и 10 юношей команду, состоящую из 3х юношей и 2х девушек. Из 10 юношей можно выбрать 3х юношей способами. Для каждых трех выбранных юношей можно выбрать также способами 2х девушек из 12ти. Поэтому работает правило умножения и в первом случае число вариантов команд равно .
Аналогично, во втором случае: .
В третьем случае: .
В четвертом случае: .
Окончательный ответ: +++.
Примеры решения задач
№1.17. n (n>2) человек садятся за круглый стол. Два размещения по местам будем считать совпадающим, если каждый человек имеет одних и тех же соседей в обоих случаях. Сколько существует способов сесть за стол?
Решение.
Общее количество всевозможных рассадок равно числу перестановок из n элементов Pn = n! Однако из этих рассадок нужно исключить совпадающие. Отношение соседства сохраняется при циклических перестановках (их n штук) и при симметрическом отражении (их также n штук):
Поэтому всего способов (делить, т.к. правило умножения)
№1.19. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз?
Решение.
Всего способов вынуть 10 карт из колоды . Из них в случаях в выборке не окажется ни одного туза. Поэтому ответ –.
№1.20. Сколькими способами можно составить три пары из n шахматистов?
Решение.
Сначала выберем из n шахматистов 6 человек. Это можно сделать способами. Теперь каждую шестёрку будем разбивать на пары. Для этого поставим 6 шахматистов в ряд, считая, что они имеют имена: a, b, c, d, e, f. Это можно сделать 6! способами. Однако нам не важен порядок внутри каждой пары и порядок самих пар. Перестановок, в которых шахматисты меняются местами в парах 23. Перестановок, в которых меняются местами пары 3!. Поэтому разбить на пары 6 шахматистов можно способами. Ответ.
№1.24. Сколько существует чисел от 0 до 10n, в которые не входят две идущие друг за другом одинаковые цифры?
Решение.
Рассмотрим все n-значные числа. Первую цифру мы можем выбрать 9-ю способами. Чтобы вторая цифра была отлична от первой, то её также можно выбрать 9-ю способами. Количество таких n-значных чисел равно количеству размещений объёма n из 9 элементов с неограниченными повторениями, т.е. равна 9n для n>1 и 10 для n=1.
Поэтому ответ 10+92+93+...+9n. Число 10n не подходит.
ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
-
Пусть N – это множество натуральных чисел, включая нуль.
-
В данном разделе курса будут рассматриваться функции многих переменных fn(x1, ..., xn), определенные на некотором множестве MNn c натуральными значениями, т.е. fn(x1, ..., xn)N, xiN для i=1, ..., n, или fn Nn+1.
-
Функция fn(x1, ..., xn) называется всюду определенной, если её областью определения является Nn, т.е. для любого набора из n натуральных чисел существует натуральное число, являющееся значением функции fn.
-
Простейшие всюду определенные функции:
1. s(x)=x+1 для любого x;
2. o(x)=0 для любого x;
3. Inm(x1, ..., xm, ..., xn)=xm.
Эти простейшие функции всюду определены и из них с помощью конечного числа применений операторов, введенных ниже, можно конструировать более сложные функции.
-
Оператор суперпозиции:
Функция hn(x1, ..., xn) получается из функций gm, fn1, ..., fnm с помощью оператора суперпозиции, если hn(x1, ..., xn) = gm(fn1(x1, ..., xn), ..., fnm(x1, ..., xn)).
-
Оператор примитивной рекурсии:
Функция fn+1(x1, ..., xn, y) получается из функций gn(x1, ..., xn) и hn+2(x1, ..., xn, y, z) с помощью оператора примитивной рекурсии, если она может быть задана схемой примитивной рекурсии:
fn+1(x1, ..., xn, 0) = gn(x1, ..., xn),
fn+1(x1, ..., xn, y+1) = hn+2(x1, ..., xn, y, fn+1(x1, ..., xn, y)).
-
Оператор минимизации:
Функция fn(x1, ..., xn) получается из функции gn+1(x1, ..., xn, y) с помощью оператора минимизации и обозначается fn(x1, ..., xn)=y[gn+1(x1, ..., xn, y)=0], если:
fn(x1, ..., xn) определено и равно y gn+1(x1, ..., xn, 0), ..., gn+1(x1, ..., xn, y-1) определены и не равны нулю, а gn+1(x1, ..., xn, y)=0.
(Можно говорить также: «Функция fn(x1, ..., xn) равна минимальному значению y, при котором функция gn+1 обращается в нуль»)
-
Примитивно рекурсивная функция (прф)
Функция fn+1(x1, ..., xn, y) называется примитивно рекурсивной, если она может быть получена из простейших функций с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии.
Следует отметить, что все примитивно рекурсивные функции всюду определены.
-
Частично рекурсивная функция (прф)
Функция fn+1(x1, ..., xn, y) называется частично рекурсивной, если она может быть получена из простейших функций с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.
-
Из определений легко заметить, что примитивно рекурсивные функции являются также частично рекурсивными. Однако существуют частично рекурсивные функции, не являющиеся примитивно рекурсивными.