- •Единственность предела сходящейся последовательности
- •Ограниченность сходящейся последовательности
- •Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Теорема Кантора о вложенных отрезках
- •Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях.
- •Критерий Коши сходимости последовательности.
- •*Теорема о существовании точных границ числовых множеств.
- •*Принцип Бореля-Лебега
- •*Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки у ограниченного числового множества
- •Эквивалентность 2х определений предела функции в точке
- •*Критерий Коши предела функции в точке
- •Непрерывность сложной функции
- •Теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций на отрезке
- •Теорема Больцано-Коши о нулях функции
- •*Теорема о существовании обратной функции
- •*Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
- •Непрерывность дифференцируемой функции
- •Доказательство
- •Производная и дифференцируемость функции в точке
- •Дифференцируемость функции в точке: правила дифференцирования, дифференцируемость сложной функции
- •Правила дифференцирования
- •25. Теоремы о среднем: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши Теоремы Ферма и Ролля.
- •Теоремы Коши и Лагранжа.
- •26. Правила Лопиталя
- •27. *Теорема Тейлора
- •28. Достаточные условия экстремума
- •29. Точки возрастания функции и второе достаточное условия экстремума функции в точке
Единственность предела сходящейся последовательности
Иногда удобно записывать определение сходимости последовательности в следующих эквивалентных первоначальному видах:
вне окрестности лежит конечное число элементов последовательности .
Если последовательность сходится, то ее предел единственный.
Доказательство (от противного). Пусть
Возьмем , тогда по выбору , с другой стороны, по определению сходимости, для
Следовательно, для , что означает непустоту этого пересечения. Получено противоречие.
Ограниченность сходящейся последовательности
Последовательность называется ограниченной, если . Это означает, что или что множество можно накрыть отрезком .
Замечание. Ясно, что последовательность будет ограниченной, если ее можно накрыть отрезком , начиная с некоторого номера . (Вне отрезка может лежать лишь конечное число элементов последовательности , следовательно, и всю последовательность можно накрыть некоторым отрезком , где ).
Если последовательность сходится, то она ограничена.
Доказательство. Пусть и . Тогда, по определению сходимости, существует номер такой, что для всех . Следовательно, , и поэтому . Итак, по замечанию, последовательность ограничена.
Сохранение знака сходящейся последовательности
Если последовательность сходится к числу , то вся последовательность лежит вне окрестности нуля , начиная с некоторого номера.
Для доказательства достаточно взять . Тогда, по определению предела, найдется , что для всех , следовательно, .
Теорема о переходе к пределу в неравенстве для 2х последовательностей.
Если для всех и
Доказательство. Пусть, напротив,
Зададим . Тогда по определению сходимости
Следовательно, для выполняются соотношения
что противоречит условию теоремы.
Теорема о 3х последовательностях.
Если для всех и
Доказательство. Проверим, что выполняется определение сходимости последовательности к числу . Возьмем любое , тогда из условия следует, что
из условия следует, что
Поэтому для всех выполняются неравенства
следовательно, .
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Последовательность называется бесконечно малой, если при . Развернутое определение:
Последовательность называется бесконечно большой, если
Этот факт мы будем записывать так: при или
Последовательность является бесконечно малой последовательностью тогда и только тогда, когда последовательность является бесконечно большой.
Доказательство следует из того факта, что неравенство равносильно неравенству , и определений бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
Свойства бесконечно малых последовательностей.
Свойство 3.3.1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей и есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Возьмем произвольное . Для него
Тогда
Свойство 3.3.2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Из ограниченности следует существование числа такого, что для всех . Следовательно, при любом положительном для положительного существует номер такой, что для всех . Поэтому для этих имеем . Следовательно, по определению Коши, при .
Свойство 3.3.3. Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы существовали число и бесконечно малая последовательность такие, что для всех выполнялось равенство .
Доказательство. Необходимость. Пусть при . Рассмотрим , тогда из определения сходимости следует, что при .
Достаточность. Если , то из того, что -- бесконечно малая последовательность и следует, что при .