14. *Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки у ограниченного числового множества

Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Доказательство. Пусть X - бесконечное ограниченное множество чисел из R. Из определения ограниченности множества X следует, что X содержится в некотором отрезке [a, b]. Обозначим отрезок [a, b] через σ0 и покажем, что существует, по крайней мере, одна точка x0 ∈ [a, b], которая является предельной для X. Разделим отрезок σ0 на два равных отрезка и обозначим через σ1 = [a1, b1] любой из них, содержащий бесконечное подмножество чисел множества X (по крайней мере, один из них обязательно содержит такое бесконечное подмножество). Теперь σ1 разделим на два равных отрезка и обозначим через σ2 = [a2, b2] любой из них, содержащий бесконечное подмножество чисел множества X.

Рассуждая по индукции, получим последовательность вложенных друг в друга отрезков σn = [an, bn] (n = 0, 1, 2, . . . ), длины которых (b – a)/2ⁿ стремятся к нулю.

Согласно принципу Кантора о вложенных отрезках существует точка x0, принадлежащая всем σn. Очевидно, что x0 есть предельная точка множества X.

15. Эквивалентность 2х определений предела функции в точке

Определение предела функции по Гейне. Пусть в каждой точке интервала  , кроме, быть может, точки  , определена функция   

Число   называется пределом функции   при стремлении   к  , если для любой последовательности   такой, что 

последовательность   значений функции   сходится к   при  . В этом случае пишут 

Определение предела функции по Коши. Пусть в каждой точке интервала  , кроме, быть может, точки  , определена функция   (см. рис. 5.2.2). Число   называется пределом функции   при стремлении   к  , если для любого   существует   такое, что для всех , удовлетворяющих условию  , выполняется неравенство  . Или, на формальном языке, 

Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны 

Доказательство. Необходимость. Докажем от противного. Пусть   по Гейне, но не по Коши, т. е. 

Пусть  . Тогда по (5.2.2) найдутся     и  . Отсюда  , и по билет 5  . Поэтому, по определению Гейне,  , но по построению последовательность   лежит вне окрестности  , что противоречит тому, что  .

Достаточность. Пусть 

   (по Коши).

Согласно определению Гейне, возьмем любую последовательность  . Для доказательства того, что  , возьмем любое  . Тогда из определения предела по Коши найдется соответствующее  . Для  , в силу сходимости  , найдется номер   такой, что для всех  , но тогда по определению Коши  , что доказывает, что  , т. е.     (по Гейне).

16. *Критерий Коши предела функции в точке

Говорят, что функция   удовлетворяет условию Коши в точке  , если она определена в  , быть может, кроме самой точки  , и выполнено 

Теорема 5.3.1. Для того чтобы существовал конечный предел   необходимо и достаточно, чтобы в точке   выполнялось условие Коши для функции 

Доказательство. Необходимость. легко следует из определения предела по Коши .Действительно, возьмем любое  , тогда для   найдется . Возьмем любые  , тогда

Достаточность. Пусть выполняется условие . Докажем, что существует 

    (по Гейне).

Пусть дана любая последовательность     Возьмем любое  , по нему найдем   , тогда существует номер   такой, что для всех  , а следовательно, выполняется неравенство  . Отсюда   фундаментальна, значит, последовательность   сходится к некоторому числу  . Остается доказать, что и для другой последовательности  . Действительно, по изложенному выше существует   при  . Рассмотрев третью последовательность 

будем иметь  . Следовательно,