11. Критерий Коши сходимости последовательности.

Теорема 4.4.1 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность   сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.  Необходимость (метод  ). Пусть   при  . Тогда для любого   существует номер   такой, что для любых  выполняются неравенства    . Рассмотрим цепочку соотношений 

что означает, что   фундаментальна.

Достаточность. Докажем сначала ограниченность последовательности  . Возьмем  , тогда, в силу фундаментальности  , найдется номер   такой, что для всех   выполняется  . Следовательно,  , поэтому  . Итак, для всех   при фиксированном   выполняется  , что означает ограниченность последовательности   (см. замечание 3.2.1). По теореме 4.3.2 из последовательности   можно выделить подпоследовательность  , сходящуюся к некоторому числу  .

Докажем, что и вся последовательность   сходится к числу  . Возьмем любое  , тогда найдется номер   (из фундаментальности  ) такой, что для всех   выполняется  . Ввиду сходимости   при  , по взятому   найдется номер  такой, что   и  . Тогда для нашего   

что означает сходимость последовательности   к числу  .

12. *Теорема о существовании точных границ числовых множеств.

Если непустое множество действительных чисел ограничено сверху, то существует точная верхняя граница этого множества.

Доказательство (метод Больцано -- метод деления отрезка пополам). Пусть   и множество   ограничено сверху числом  . Рассмотрим отрезок  , заметим, что правее   нет точек из  . Разделим отрезок на два равных отрезка и обозначим   самый правый из них, содержащий хотя бы одну точку из  , т. е. правее   нет точек из  . Так же поступим с отрезком  , получим отрезок  , содержащий хотя бы одну точку из  , правее которого нет точек из  . Продолжив этот процесс по индукции, получим последовательность отрезков  , длины которых  . При этом при любом   правее   нет точек из  . На основании принципа вложенных отрезков (теорема 4.1.1) существует единственная точка  , лежащая во всех отрезках системы  .

Докажем, что  . В самом деле, по построению для всех   и для всех   выполняется неравенство  . Тогда, переходя к пределу в этом неравенстве при  , получим (используя то, что  ) неравенство  . Возьмем теперь любое  . Тогда (так как и  ) существует номер   такой, что   лежит левее отрезка  . При этом в   лежит хотя бы одна точка  , т.е. выполняется неравенство  . Следовательно,  .

Будем считать в дальнейшем, что если множество   неограничено сверху, то  , если неограничено снизу, то  .

13. *Принцип Бореля-Лебега

Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега).

В любой системе интервалов, покрывающих отрезок, имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

Доказательство: Рассмотрим отрезок = [a,b]. S = {U}- система интервалов U, его покрывающая. Допустим нельзя выделить конечную подсистему, покрывающую данный отрезок. Поделим пополам. Одна из его половин не допускает конечного подпокрытия. Обозначим его . Проделаем то же с отрезком , получим и так далее. Получаем последовательность вложенных отрезков .

по лемме о вложенных отрезках получаем: Так как , то в S интервал , такой что . Обозначим . . - противоречие :

С одной стороны - не допускает конечного покрытия, а с другой стороны указан конечный интервал ∈ , который покрывает отрезок .