8. Арифметические свойства сходящихся последовательностей.

Свойство 3.4.1. Если последовательности   и   сходятся, то сходится последовательность 

        и        

Свойство 3.4.2. Если последовательности   и   сходятся, то сходится последовательность   и 

Доказательство. Пусть  . Тогда   и   при  . Поэтому 

В силу свойств 3.3.1-3.3.3 бесконечно малых последовательностей 

Свойство 3.4.3. Если последовательности   и   сходятся к   и   соответственно, то последовательность   сходится к 

Доказательство. Так как   (пусть для определенности  ), то по свойству 3.2.3, начиная с некоторого номера  . Поэтому определена последовательность     и   Рассмотрим для номеров   цепочку равенств 

Так как последовательность   -- бесконечно малая, а последовательность   ограничена, то   -- бесконечно малая последовательность, следовательно, по свойству 3.3.3, последовательность   стремится к  .

9. Теорема Кантора о вложенных отрезках

Теорема (Г.Кантора). Пусть задана система вложенных отрезков   на  , т. е. таких, что 

и длины отрезков   при  . Тогда существует, и притом единственная, точка, одновременно принадлежащая всем отрезкам  .

Доказательство. Возьмем любое  . Ясно, что для любого   (из вложенности системы отрезков, см. рис. 4.1.1) 

Рис. 4.1.1

Рассмотрим последовательность левых концов отрезков системы  . Она монотонно возрастает и ограничена сверху, например, числом  . Тогда, по основной теореме 2.4.1, существует число (точка)   такое, что   и для любого  . В частности, при , что означает, что  . Так как   было взято произвольным, то точка   принадлежит всем отрезкам  .

Найденная точка единственная, так как, если существует   и для любого  , то для любого   выполняются неравенства , что противоречит тому, что   при  .

Замечание 4.1.1.  , т.е. последовательность   левых концов отрезков  , возрастая, стремится к точке  , а последовательность   правых концов отрезков  , убывая, стремится к  . Действительно, 

Замечание 4.1.2. Во множестве рациональных чисел   такого свойства, вообще говоря, нет. Например, пусть  , а . Ясно, что эта последовательность отрезков удовлетворяет условиям теоремы Кантора, но общая единственная точка   -- иррациональное число, следовательно, во множестве рациональных чисел   общих точек у рассматриваемой системы отрезков нет, т. е. 

Замечание 4.1.3. То, что в теореме Кантора речь идет о системе отрезков (а, например, не интервалов), существенно. Достаточно рассмотреть систему интервалов   Ясно, что   в 

10. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях.

Теорема 4.3.2 (Больцано - Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности   можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому действительному числу.

Доказательство (метод Больцано). Так как последовательность   ограничена, то существует число   такое, что  . Разделим отрезок   на два равных отрезка и обозначим через   какой-нибудь из них, содержащий бесконечно много элементов из  , пусть  . Далее разделим отрезок   на два равных отрезка и обозначим через   какой-нибудь из них, содержащий бесконечно много элементов из  . Тогда найдется элемент   и  . Процесс деления отрезка пополам, выбора одной из половин отрезка и элемента в ней продолжим по индукции. Итак, построена система вложенных отрезков   и последовательность  такая, что для любого   выполняется   и  . Тогда по теореме Кантора о вложенных отрезках существует единственная точка  , принадлежащая всем отрезкам, и  . Переходя к пределу по   в неравенствах  , получим  .