1. Единственность предела сходящейся последовательности

Иногда удобно записывать определение сходимости последовательности   в следующих эквивалентных первоначальному видах:

  вне окрестности   лежит конечное число элементов последовательности  .

 Если последовательность  сходится, то ее предел единственный.

Доказательство (от противного). Пусть 

Возьмем  , тогда   по выбору  , с другой стороны, по определению сходимости, для  

Следовательно, для  , что означает непустоту этого пересечения. Получено противоречие.

2. Ограниченность сходящейся последовательности

Последовательность   называется ограниченной, если  . Это означает, что   или что множество  можно накрыть отрезком  .

Замечание. Ясно, что последовательность   будет ограниченной, если ее можно накрыть отрезком  , начиная с некоторого номера  . (Вне отрезка   может лежать лишь конечное число элементов последовательности  , следовательно, и всю последовательность можно накрыть некоторым отрезком  , где  ).

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство. Пусть   и  . Тогда, по определению сходимости, существует номер   такой, что для всех  . Следовательно,  , и поэтому  . Итак, по замечанию, последовательность  ограничена.

3. Сохранение знака сходящейся последовательности

Если последовательность   сходится к числу  , то вся последовательность   лежит вне окрестности нуля , начиная с некоторого номера.

Для доказательства достаточно взять  . Тогда, по определению предела, найдется  , что для всех  , следовательно,  .

4. Теорема о переходе к пределу в неравенстве для 2х последовательностей.

Если   для всех   и 

Доказательство. Пусть, напротив, 

Зададим  . Тогда по определению сходимости 

Следовательно, для   выполняются соотношения 

что противоречит условию теоремы.

5. Теорема о 3х последовательностях.

Если   для всех   и 

Доказательство. Проверим, что выполняется определение сходимости последовательности   к числу  . Возьмем любое  , тогда из условия   следует, что 

из условия   следует, что 

Поэтому для всех   выполняются неравенства 

следовательно,  .

6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Последовательность   называется бесконечно малой, если   при  . Развернутое определение: 

 Последовательность   называется бесконечно большой, если 

Этот факт мы будем записывать так:   при   или 

Последовательность   является бесконечно малой последовательностью тогда и только тогда, когда последовательность   является бесконечно большой.

Доказательство следует из того факта, что неравенство   равносильно неравенству  , и определений бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

7. Свойства бесконечно малых последовательностей.

Свойство 3.3.1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей   и   есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Возьмем произвольное  . Для него 

Тогда 

Свойство 3.3.2. Произведение   бесконечно малой последовательности   на ограниченную последовательность   есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Из ограниченности   следует существование числа   такого, что для всех  . Следовательно, при любом положительном   для положительного   существует номер   такой, что для всех  . Поэтому для этих   имеем  . Следовательно, по определению Коши,   при  .

Свойство 3.3.3. Для того чтобы последовательность   была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы существовали число   и бесконечно малая последовательность   такие, что для всех   выполнялось равенство  .

Доказательство.  Необходимость. Пусть   при  . Рассмотрим  , тогда из определения сходимости   следует, что   при  .

Достаточность. Если  , то из того, что   -- бесконечно малая последовательность и   следует, что   при  .