21. Целые и рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами

Теорема 1.1. Если несократимая дробь l/m, где l,m∈Z , является корнем

многочлена (1), то l является делителем свободного члена an, а m – делителем

старшего коэффициента a0.

Следствие 1. Целый корень l многочлена f (x) должен делить

свободный член an этого многочлена.

Следствие 2. Если старший коэффициент многочлена f (x) равен

единице, то рациональными корнями этого многочлена могут быть только

целые числа.

Теорема 1.2. Если несократимая дробь l/m является корнем многочлена

f (x) с целыми коэффициентами, то для любого целого k число f (k) делится

на (l − km) при l − km ≠ 0 .

22. Критерий неприводимости Эйзенштейна

Теорема 1.4. (Критерий неприводимости Эйзенштейна). Если в

многочлене с целыми коэффициентами

f (x)= a₀+ a₁ x+ a₂ x²+…+ a_n-1 x^n-1+ a_n xⁿ коэффициенты a0 , a1,…, an−1 делятся на некоторое простое число p, причем свободный член a0 не делится на p2, а старший коэффициент an не делится на p, то многочлен f (x) неприводим над полем Q рациональных чисел.

23.Критерий приводимости над полем q

Теорема 1.3. Пусть f (x) многочлен степени 2 либо 3 из кольца Q[x] .

f (x) тогда и только тогда приводим над полем Q, когда он имеет оп крайней

мере один рациональный корень.

24.Примитивные многочлены

Определение 1.1. Многочлен f (x) ≠ 0 с целыми коэффициентами

называется примитивным, если наибольший общий делитель всех его

коэффициентов равен 1.

Лемма 1.1. Произведение двух примитивных многочленов есть также

примитивный многочлен.

Лемма 1.2. Если многочлен f (x) с целыми коэффициентами приводим

над полем Q, то его можно представить в виде произведения двух

многочленов с целыми коэффициентами, степень каждого из которых

меньше степени многочлена f (x) .