1. Кольцо многочленов от одной переменной над областью целостности.

Теорема 1.2. Множество К[x] многочленов от одной переменной над

областью целостности К также образуют область целостности относительно

операций сложения и умножения многочленов.

Доказательство. Как видно из определений 1.4 и 1.5 операции

сложения и умножения многочленов сводятся к операциям сложения и

умножения над коэффициентами, принадлежащими области целостности К.

Поэтому коммутативность и ассоциативность операций сложения и

умножения, а также дистрибутивность умножения относительно сложения во

множестве К[x] вытекают из аналогичных свойств операций в К. Роль

нулевого элемента в К[x] очевидно выполняет нулевой элемент и роль

единичного – единичный элемент из К. Противоположным многочлену f

является многочлен –f, все коэффициенты которого противоположны

соответствующим коэффициентам многочлена f. Таким образом К[x]

является коммутативным кольцом с единицей. Далее, если многочлены f(x) и

g(x) из К[x] отличны от нулевого, то определены их степени и по теореме 1.1

степень произведения fg равна сумме степеней сомножителей. В частности,

fg≠0. Это значит, что К[x] является областью целостности. Теорем

2. Множество многочленов от одной переменной

Определение: Многочленом от одной переменной над областью целостности К называют выражение вида: a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x¹+a₀, где a_n, a_n-₁, …, a₁, a₀элементы из К, которые называют коэффициентами многочлена, n-произвольное целое неотрицательное число, х- символ, называемый переменной или неизвестной.

Определение: Два многочлена f(x) и g(x) из множества K[x] называют равными, если они состоят из одних и тех же членов, без учетов членов с нулевыми коэффициентами.

Определение: Степенью многочлена f(x) из K[x] называется наибольшая из степеней его членов с ненулевыми коэффициентами.

Определение: Суммой многочленов f(x) и g(x) называют многочлен f(x)+g(x)=h(x), где c_k=a_k+b_k при k<=m, и c_k=a_k при k>m.

Определение: произведение многочленов f(x) и g(x) называют многочлен f(x)g(x)=a_nb_mx^n+m+(a_nb_m-1+a_n-1b_m)x^m+n-1+(a_nb_m-2+a_n-1b_m-1+a_n-1b_m)x^m+n-2+…+(a₁b₀+a₀b₁)x+a₀b₀

Теорема: степень произведения многочленов f(x) и g(x) равна сумме степеней этих многочленов.

3.Отношение делимости в кольце многочленов , и их свойства

Пусть Р – произвольное числовое поле. Так как всякое поле является

областью целостности, то все изложенное выше для многочленов из К[x]

справедливо также и для многочленов из кольца Р[x], т.е. многочленов от

одной переменной над полем Р. Ниже мы будем рассматривать только

многочлены из кольца Р[x].

Определение 2.1. Говорят, что многочлен f(x) делится на многочлен

g(x), если в кольце Р[x] найдется такой многочлен q(x), что

f(x)=g(x)⋅q(x) (2.1)

Если f(x) делится на g(x) то пишут f(x) M g(x) (читается: "f(x) делится

на g(x)") либо g(x) | f(x) ("g(x) делит f(x)")

Как обычно в равенстве (2.1) f(x) называют делимым, g(x) – делителем,

и q(x) – частным от деления f(x) на g(x). Приведем основные свойства

отношения делимости в кольце P[x].

Свойство 1. Всякий многочлен f(x) делится на себя, то есть

∀ f(x) ∈P [x] | f(x) M f(x) .

Свойство 2.

∀ f(x), g(x), h(x) ∈P [x] | f(x) M g(x) ∧ g(x) M h(x) ⇒ f(x) M h(x) .

Свойство 3.

∀ f(x), g(x), h(x) ∈P [x] | f(x) M h(x) ∧ g(x) M h(x)⇒ (f(x) ±g(x)) M h(x) .

Свойство 4. ∀ f(x), g(x), h(x) ∈P [x] | f(x) M h(x)⇒ f(x)g(x) M h(x) .

Свойство 5. ∀ f(x) ∈P [x] | 0 M f(x) .

Свойство 6. ∀ f(x) ∈P [x], ∀a ∈P | a ≠ 0 ⇒ f(x) M a .

Свойство 7. Пусть слагаемые f1, f2, …, fk-1 суммы многочленов

f=f1+f2+ …+ fk-1+ fk делятся на g(x), а fk не делится на g(x), тогда сумма f не делится на g(x).