12. Разложение многочленов в произведение неприводимых множителей

Теорема 4.1. Всякий многочлен f(x) ∈ P[x] степени n≥1 либо

неприводим над полем Р, либо разлагается над этим полем в произведение

неприводимых множителей. Причем, такое разложение однозначно с

точностью до порядка следования сомножителей и множителей нулевой

степени.

Определение 4.2. Неприводимый многочлен p (j=1,e) j называется k-

кратным неприводимым множителем многочлена f(x), если f(x) делится на

(pj(x))^k, но не делится на (pj(x))^k+1.

15. Корни многочлена

Определение 5.1. Число а из поля Р или из его расширения называется

корнем многочлена f(x), если значение этого многочлена при х = а равно

нулю, то есть f(а) = 0.

Теорема 5.1 (Безу). Остаток r при делении многочлена f(x) на двучлен

(х-а) равен значению этого многочлена при х = а, то есть r = f(а).

Доказательство. Разделим многочлен f(x) на х–а с остатком. Получим

равенство (1). При х = а будем иметь

f(а) = (а – а) q(а) + r = r

Теорема доказана.

Теорема 5.2. Число а тогда и только тогда является корнем многочлена

f(x), когда f(x) делится на двучлен х–а.

Необходимость. Пусть а – корень многочлена f(x), то есть f(а) = 0. Но

по теореме 5.1 f(а) = r, где r – остаток от деления f(x) на х–а. Следовательно,

r = 0, то есть f(x) M (x - a) .

Достаточность. Пусть f(x) M (x - a) , это значит, что r = 0. Но по теореме

5.1 r = f(а), и следовательно, f(а) = 0, то есть а – корень многочлена f(x).

Последняя теорема позволяет иначе определить корень многочлена.

Определение 5.2. Число а называется корнем многочлена f(x), если f(x)

делится на двучлен х–а. При этом число а называется к-кратным корнем

многочлена f(x), если f(x) делится на (х–а)к , но уже не делится на (х–а)к+1.

16.Наибольшее возможное число корней многочлена

Теорема 5.3 (о наибольшем возможном числе корней многочлена).

Всякий многочлен степени n≥0 имеет не более чем n корней, даже если

считать каждый корень столько раз какова его кратность.

Теорема 5.4. Пусть f(x) и g(x) – многочлены, степени которых не

превышают n. Если значения многочленов f(x) и g(x) совпадают при более

чем n значениях переменной x, то эти многочлены равны.

17. Производная многочлена

Определение 6.1. Производной многочлена

f(x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² +... +a_n xⁿ называется многочлен

f '(x)= a₁ 2a₂ x +3a₃ x²+ ...+ na_n^n-1

Приведем некоторые свойства производной многочлена.

1. ∀ f(x), g(x)∈P[x] | (f(x)+g(x))' = f '(x)+g'(x).

2. ∀ f(x)∈P[x], ∀c∈P | (c⋅f(x))' = c⋅f '(x).

3. ∀ f(x), g(x)∈P[x] | (f(x)⋅g(x))' = f '(x)⋅g(x)+f(x)⋅g'(x).

4. ∀ f(x)∈P[x] | (f k)' = k⋅f k–1⋅f '.

18. Формула Тейлора

19. Неприводимые кратные множители многочлена

Теорема 7.1. Если неприводимый многочлен Р(х) входит в многочлен

f(x) с кратностью к, то в его производную f '(x) он входит с кратностью к–1.

20. Отделение кратных множителей многочлена

Следствие 1. Пусть

f(x) = (p₁ (x))^k1-1 (p₂ (x))^k2 …(p_j (x)) ^kj – каноническое разложение

многочлена f(x) над полем Р. Тогда f '(x) представим в виде

f '(x) = (p₁ (x))^k1-1 (p₂ (x))^k2-1 …(p_j (x))^kj-1 g(x) 1, где

(g(x), pi(x))=1 (i = 1,j) .

В частности, d(x)=(f(x), f '(x)) имеет следующее каноническое

разложение

d(x) = c (p₁ (x))^k1-1 (p₂ (x))^k2-1 (p (x))^kj-1 c пренадл.

Следствие 2. Многочлен f(x) тогда и только тогда взаимно прост со

своей производной f '(x), когда он не имеет кратных неприводимых

множителей.