1. Вероятность ошибки приема флуктуирующих сигналов

Запишем сигнал на входе приемника в виде

(3.5)

Здесь  = S_x / S₀ – случайный мультипликативный коэффициент, S_x – случайная амплитуда, S₀ – амплитуда в отсутствие замираний.

Тогда

(3.6)

Величина h_x характеризует ОСШ принятого в данный момент времени символа. Вероятность ошибки при этом обозначим как P_E(h_x). Необходимо найти среднюю за сеанс связи вероятность ошибки. Математическое ожидание М[P_E(h_x)] ищем обычным образом:

, (3.7) где W(h_x) – неизвестное пока распределение случайной величины h_x. Будем предполагать, что канал является релеевским, т.е. амплитуда S_x распределена по релеевскому закону. Связь между величинами h_x и S_x дает соотношение (3.6). Представим его в виде

, или

= aS_x, (3.8)

где B_c = WT – база сигнала, - мощность шума, P_cx – мощность принятого сигнала.

Распределение случайной амплитуды запишем в виде:

, (3.9)

где - мощность флуктуирующей составляющей.

Воспользуемся теоремой о функциональном преобразовании распределений случайных величин, которая в данном контексте выглядит, как

W(y) = W_x[(y)] [(y)], где:

y=f(x) – связь между старой и новой случайными величинами x и y: h_x = aS_x, (y) – функция, обратная f(x): S_x = h_x / a,

W_x(x) – плотность распределения вероятностей случайной величины x. Тогда:

(3.10)

В последнем соотношении использовано равенство средней энергии посылки флуктуирующего сигнала и энергии посылки сигнала в отсутствии флуктуаций, что следует из физических соображений. Говоря другими словами, .

Окончательно, искомую плотность распределения запишем в виде

(3.11)

Теперь имеется все необходимое для вычисления вероятности ошибки в каналах со случайными параметрами. Для получения удобной сокращенной записи введем коэффициент _с, учитывающий тип используемых сигналов:

_с = для противоположных сигналов,

_с = 1 для ортогональных сигналов,

_с = 1/ для сигналов БАМ

1. Когерентный прием двоичных сигналов

Среднее значение вероятности ошибки в соответствии с (3.7) ищем в виде

(3.12)

Интеграл (3.12) берем по частям, воспользовавшись правилом udv = uv - vdu.

В нашем случае

u = Q(_ch_x), dv = exp(-h_x²/h²)d(h_x²/h²);

, v = exp(-h_x²/h²).

(3.13)

При вычислении (3.13) использован табличный интеграл [6]

Цифровые системы связи должны работать с вероятностями ошибок P_E  10^-3, что обеспечивается отношением сигнал/шум h  3. В этом случае

(3.14)

и для различных типов манипуляции получаем:

для сигналов БАМ;

для сигналов БЧМ;

для сигналов БФМ.

2. Некогерентный прием двоичных сигналов

Ранее были получены выражения для вероятности ошибки некогерентного приема сигналов БАМ и БЧМ (2.56) и (2.58). Объединяя их с помощью коэффициента _с, получим заменой h на h_x:

P_E(h_x) = 0,5 exp(-_c²h_x²/2) (3.15)

Проделав вычисления, аналогичные разделу 3.1.1, получим выражения для средней вероятности ошибки в канале со случайными параметрами:

, (3.16)

которое упрощается для больших отношений сигнал/шум до

. (3.17)

Для различных типов манипуляции будем иметь:

для сигналов БАМ;

для сигналов БЧМ;

для сигналов БФМ.

Весьма поучительно сравнение затрат энергии для получения вероятности ошибок, не превышающих 10^-5, при отсутствии и наличии замираний, которое представлено таблицей 3.1.

Таблица 3.1

Сигнал	h2
	Гауссовский	Релеевский
БАМ	45	2105
БЧМ	22	105
БФМ	11	5104

Из приведенных в таблице расчетных данных следует, что без принятия специальных мер некогерентный прием при наличии замираний требует огромных энергетических затрат, совершенно неприемлемых в практической реализации. Поэтому рассмотрим далее методы, применяемые для борьбы с замираниями.