1. Дифракция света на объемных голографических решетках

1.1. Волновое уравнение в объёмной голограмме

Р

Рис. 1

ассмотрим две плоские монохроматические волны – опорную R и предметную S, распространяющиеся в объемной изотропной регистрирующей среде с п оказателем преломления n. Единичные векторы волновой нормали опорной и предметной волн образуют угол . Предположим, что векторы и напряженностей электрического поля обеих волн изменяются в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка. Тогда опорную и предметную волны в регистрирующей среде можно задать следующим образом:

Рис. 1.

; , (1) где , — вещественные амплитуды; — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости рисунка;

, и – волновые векторы, нормальные фронтам интерферирующих плоских волн; – длина волны в среде, в которой происходит интерференция.

Запишем выражение для интенсивности стоячей волны, образующейся при интерференции рассматриваемых плоских волн

, . (2)

Рассмотрим объемную регистрирующую среду, в которой записана интерференционная картина, создаваемая двумя плоскими монохроматическими электромагнитными волнами вида (1). Предположим, что комплексная диэлектрическая проницаемость среды изменяется под действием света следующим образом:

, (3) где – интенсивность света в области интерференции; – диэлектрическая проницаемость среды при ; а – комплексный коэффициент, зависящий от механизма регистрации, определяющего влияние света на диэлектрическую проницаемость. Тогда, подставив в равенство (3) выражение интенсивности света (2) получим:

,(4)

где — усредненное по пространству значение диэлектрической проницаемости после регистрации голограммы; – амплитуда пространственной модуляции диэлектрической проницаемости; – радиус-вектор произвольной точки регистрирующей среды. Величины и можно записать в виде , , где ,  , , – действительные числа. Модули комплексных величин и удовлетворяют неравенству , вытекающему из условия неотрицательности вещественной части диэлектрической проницаемости в выражении (4) и из экспериментальных оценок для конкретных механизмов модуляции.

Для составления волнового уравнения, которому удовлетворяет вектор напряженности электрического поля электромагнитных волн, распространяющихся в рассматриваемой среде, используем уравнения Максвелла:

(5) где , . (6)

Здесь мы полагаем, что магнитная проницаемость , так как для большинства регистрирующих сред это условие выполняется с достаточной точностью.

Подставим (6) в первое и второе уравнения системы (5), получим:

Применим операцию rot к обеим частям первого уравнения последней системы, а операцию — к обеим частям второго уравнения, получим:

(7)

Исключим из системы (7) вектор напряжённости магнитного поля , подставив второе уравнение системы (7) в первое:

или . (8)

Преобразуем уравнение (8) к виду, более удобному для дальнейших исследований. Для этого используем векторное тождество

. (9)

Найдем необходимые условия обращения в нуль . Подставив в третье уравнение системы (5) значение из формулы (6), придем к следующим равенствам:

. (10)

Для того, чтобы выполнялось следующее равенство (11) выберем направление вектора напряженности электрического поля перпендикулярно вектору .

Вычислим в равенстве (10), используя выражение (4).

. (12)

Тогда из соотношения (10) следует равенство

, (13)

упрощающее тождество (9).

Полученный результат свидетельствует о коллинеарности векторов и . Значит, при выполняется равенство (11), а значит, и (13).

С учетом соотношений (9) и (13) векторное уравнение (8) принимает вид волнового уравнения

или учитывая известное равенство , тогда получим . (14)

Если предположить, что электромагнитное поле внутри регистрирующей среды, монохроматическое, то напряженность электрического поля можно представить в комплексной форме: , и уравнение (14) преобразуется с помощью выражения (4) следующим образом:

,

,

тогда получим , или, учитывая, что , получим: (15)