10. Некоторые принципы оценки пригодности результатов в случае малой выборки.
Рассмотрим случай
когда число параллельных измерений
больше 2, но меньше 9. При таком малом
объеме выборки среднее арифметическое
значение существенно зависит от значений
крайних членов вариационного ряда,
которые могут быть вызваны грубые
промахами. В этом случае более эффективной
оценкой истинного результата будет
медиана, а не среднее арифметическое
значение. И для выявления аномальных
результатов не требуется знать ни
дисперсию, ни коэффициент вариации
метода. Статистическим критерием
значимости для выявления аномальных
результатов в малой выборке служат так
называемых Q-критерий:
(1) где X
– аномальное значение, а
– значение результата соседнего с
в вариационном ряду, R
–размах выборки, т.е. разность между
значениями крайних членов вариационного
ряда. При применения Q-критерия
пользуются следующей таблицей:
«Значение Q-критерия для различных значений доверительной вероятности
n, объем выборки |
Р |
||
0,9 |
0,95 |
0,99 |
|
3 |
0,89 |
0,94 |
0,99 |
4 |
0,66 |
0,77 |
0,89 |
5 |
0,56 |
0,64 |
0,76 |
6 |
0,48 |
0,56 |
0,70 |
7 |
0,43 |
0,51 |
0,64 |
8 |
0,40 |
0,48 |
0,58 |
Значения Q-критерия зависят как от объема выборки, так и от доверительной вероятности, чем меньше доверительная вероятность, тем меньше значение статистического критерия при том же объеме выборки, если экспериментальное значение Q определенной по формуле (1) превосходит табличное значение для избранного значения р, то результат отклоняется с вероятностью равной доверительной погрешности. В противном случае аномальные значения отсутствуют.
Пример: результаты измерения расхода азота в промышленной установке представлены в виде вариационного ряда: 1,17; 1,20; 1,21; 1,23; 1,30; 1,35; 1,43; 1,73.
Вычислить среднее значение и медиану.
Определить по Q-критерию является ли расход газа 1,73 м3/ч при р=0,95 аномально большим.
Если окажется, что 1,73 м3/ч является аномальным, то вычислить значение и медиану после исключения этого значения.
Оценить истинное значение расхода азота.
Решение:
1,17; 1,20; 1,21; 1,23; 1,30; 1,35; 1,43; 1,73
А) Среднее значение b=(1,17 + 1,20 + 1,21 + 1,23 + 1,30 + 1,35 + 1,43 + 1,73)/8=1.33
m = (1.32 + 1.30)/2=1.26
Табличное значение Q-критерия при n=8 и p=0,95 равно 0,48.
Q
= (
)/(
)
= (1.73 – 1.43)/(1.73-1.17) = 0.3/0.56 = 0.536
0.536 > 0.48 => X8 = 1.73 – аномальное значение
Б) 1,17; 1,20; 1,21; 1,23; 1,30; 1,35; 1,43;
Среднее значение b=(1,17 + 1,20 + 1,21 + 1,23 + 1,30 + 1,35 + 1,43)/7=1.
m = 1.23
Табличное значение Q-критерия при n=7 и p=0,95 равно 0,51.
Q
= (
)/(
)
= (1.43 – 1.35)/(1.43-1.17) = 0.08/0.26 = 0.31
0.31 > 0.51 => X7 = 1.43 – нормальное значение
4) Среднее значение расхода азота – 1,23 м3/ч